Распределение хи-квадрат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение . Распределение Пирсона
Плотность вероятности
Chi-square distributionPDF.png
Функция распределения
Chi-square distributionCDF.png
Обозначение или
Параметры — число степеней свободы
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана примерно
Мода если
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия

Производящая функция моментов , если
Характеристическая функция

Распределе́ние (хи-квадра́т) с степеня́ми свобо́ды — это распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: . Тогда случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы, то есть .

Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и его плотность имеет вид:

,

где означает гамма-распределение, а  — гамма-функцию.

Функция распределения имеет следующий вид:

,

где и обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.

Свойства распределения хи-квадрат[править | править вики-текст]

.
  • Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если , то
,
.
  • В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины может быть приближено нормальным . Более точно
по распределению при .

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

  • Если независимые нормальные случайные величины, то есть: известно, то случайная величина

имеет распределение .

.
  • Если и , то случайная величина

имеет распределение Фишера со степенями свободы .

Квантили[править | править вики-текст]

Квантиль хи-квадрат — это число (величина хи-квадрат), при котором функция распределения хи-квадрат равна заданной, требуемой вероятности.

История[править | править вики-текст]

Критерий χ² был предложен Карлом Пирсоном в 1900 году.[1] Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 1029.

Общее обсуждение критерия χ² и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена.[2]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Karl Pearson. «On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling». Philosophical Magazine, Series 5 50 (302): 157-175. DOI:10.1080/14786440009463897.
  2. William G. Cochran (1952). «The χ2 Test of Goodness of Fit». Annals Math. Stat. 23 (3): 315-345.
Bvn-small.png п о р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула