Расслоение Хопфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Расслоение Хопфа графически представлено как обобщенная стереографическая проекция S3 на R3. Рисунок показывает одинаковым цветом точки на S2 (справа) и соответствующие им слои-окружности на стереографической проекции S3 (слева).

В топологии, расслоение Хопфа — расслоение трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

S^1 \hookrightarrow S^3 \xrightarrow{\ p \, } S^2.

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы S^3 как единичной сферы в \mathbb{C}^2, а двумерной сферы S^2 как комплексной проективной прямой \mathbb{C}P^1. Тогда отображение

 p:(z_1,z_2)\mapsto (z_1:z_2)

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы S^1:

\theta : (z_1,z_2)\mapsto (\theta z_1, \theta z_2),

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

S^1=\{\theta \mid \theta\in\mathbb{C}, \, |\theta|=1 \}.

Обобщения[править | править исходный текст]

  • Совершенно аналогично, нечётномерная сфера S^{2n+1} расслаивается со слоем-окружностью над \mathbb{C}P^n.
  • Также (помимо вышеуказанной «комплексной»), существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:
S^0\hookrightarrow S^1 \rightarrow S^1 \,   (вещественная),
S^1\hookrightarrow S^3 \rightarrow S^2 \,   (комплексная — собственно расслоение Хопфа),
S^3\hookrightarrow S^7\rightarrow S^4 \,   (кватернионная),
S^7\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^8 \,   (октавная).

На самом деле, это все расслоения, для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами.

Ссылки[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

  • Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
  • Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
  • Трехмерная сфера — в ней происходит расслоение Хопфа
  • Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее[1][2]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Р.Пенроуз, В.Риндлер Спиноры и пространство-время, спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени. — Москва «Мир», 1988. — P. 78.
  2. Д.Н. Клышко (1993). «Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах». УФН 163 (11): 1.