Расслоение Хопфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Расслоение Хопфа графически представлено как обобщенная стереографическая проекция S^3 на \R^3. Рисунок показывает одинаковым цветом точки на S^2 (справа) и соответствующие им слои-окружности на стереографической проекции S^3 (слева).

Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

S^1 \hookrightarrow S^3 \xrightarrow{\ p \, } S^2.

Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы S^3 как единичной сферы в \C^2, а двумерной сферы S^2 как комплексной проективной прямой \C P^1. Тогда отображение:

 p:(z_1,z_2)\mapsto (z_1:z_2)

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы S^1:

\theta : (z_1,z_2)\mapsto (\theta z_1, \theta z_2),

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

S^1=\{\theta \mid \theta\in\mathbb{C}, \, |\theta|=1 \}.

Обобщения[править | править вики-текст]

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера S^{2n+1} расслаивается со слоем-окружностью над \mathbb{C}P^n. Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.

Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

S^0\hookrightarrow S^1 \rightarrow S^1 \,   (вещественная),
S^1\hookrightarrow S^3 \rightarrow S^2 \,   (комплексная — собственно расслоение Хопфа),
S^3\hookrightarrow S^7\rightarrow S^4 \,   (кватернионная),
S^7\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^8 \,   (октавная).

Такие расслоения сферы S^n, для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях n \in \{ 1, 3, 7, 15\}. Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в \R^n без делителей нуля может быть определено только при n \in \{ 1, 2, 4, 8\}.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]