Расслоение Хопфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Расслоение Хопфа графически представлено как обобщенная стереографическая проекция на . Рисунок показывает одинаковым цветом точки на (справа) и соответствующие им слои-окружности на стереографической проекции (слева).

Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

.

Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы как единичной сферы в , а двумерной сферы как комплексной проективной прямой . Тогда отображение:

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы :

,

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

.

Обобщения[править | править код]

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера расслаивается со слоем-окружностью над . Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.

Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

  (вещественная),
  (комплексная — собственно расслоение Хопфа),
  (кватернионная),
  (октавная).

Такие расслоения сферы , для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях . Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в без делителей нуля может быть определено только при .

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Р.Пенроуз, В.Риндлер. Спиноры и пространство-время, спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени. — Москва «Мир», 1988. — С. 78. Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 1 февраля 2012. Архивировано 3 октября 2015 года.
  2. Д.Н. Клышко. Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах // Успехи физических наук : журнал. — Российская академия наук, 1993. — Т. 163, № 11. — С. 1.

Ссылки[править | править код]