Расстояние от точки до прямой на плоскости
Расстояние от точки до прямой на плоскости — это кратчайшее расстояние от точки до прямой в евклидовой геометрии. Расстояние равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой. Формула вычисления расстояния может быть получена и выражена несколькими способами.
Знание наименьшего расстояния от точки до прямой может быть полезно во многих случаях, например, для поиска кратчайшего пути для выхода на дорогу, определение разброса графа, и подобное. В регрессии Деминга, процедуре линейного сглаживания, если зависимые и независимые переменные имеют одну и ту же дисперсию, регрессия сводится к ортогональной регрессии, в которой степень приближения измеряется для каждой точки как расстояние от точки до регрессионной прямой.
Декартова система координат
[править | править код]Прямая задана уравнением
[править | править код]Когда прямая на плоскости задана уравнением ax + by + c = 0, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки (x0,y0) равно [1]
Точка на прямой, наиболее близкая к (x0,y0), имеет координаты [2]
- и
Горизонтальные и вертикальные прямые
В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a и b не могут быть одновременно равны нулю пока c ненулевое, а в случае всех нулевых коэффициентов уравнение не задаёт прямую. Если a = 0, а b ≠ 0, прямая горизонтальна и имеет уравнение y = -c/b. Расстояние от (x0, y0) до этой прямой определяется вертикальным отрезком длины |y0 — (-c/b)| = |by0 + c| / |b| (согласно формуле). Аналогичным образом, для вертикальных прямых (b = 0) расстояние между той же точкой и прямой равно |ax0 + c| / |a| и измеряется вдоль горизонтального отрезка.
Нормированное уравнение прямой
Нормированное уравнение прямой — это уравнение вида
Нормированное уравнение получается из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 делением всех членов на . Тогда расстояние от точки (x0, y0) до прямой равно абсолютному значению отклонения и вычисляется по формуле [3][4]
Прямая задана двумя точками
[править | править код]Если прямая проходит через две точки P1=(x1,y1) и P2=(x2,y2), и необходимо найти расстояние от до прямой, то можно воспользоваться следующими способами:
Способ 1. Искомое расстояние равно
Знаменатель этого выражения равен расстоянию между точками P1 и P2. Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами (x0,y0), P1 и P2 (см. Общая формула площади треугольника в декартовых координатах). Выражение эквивалентно , что может быть получено преобразованием стандартной формулы площади треугольника: , где b — длина стороны, а h — высота на эту сторону из противолежащей вершины.
Способ 2. Сначала находится ближайшая точка на прямой к точке по формуле
.
Тогда искомое расстояние равно
.
Доказательства
[править | править код]Алгебраическое доказательство
[править | править код]Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. То есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении не равны нулю.
Прямая с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон -a/b, так что любая прямая, перпендикулярная к заданной, имеет наклон b/a. Пусть (m, n) — точка пересечения прямой ax + by + c = 0 и перпендикулярной прямой, проходящей через точку (x0, y0). Прямая, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной прямой, так что
Таким образом, и после возведения в квадрат получим:
Рассмотрим,
Здесь использовано возведённое в квадрат выражение. Но
- ,
так как точка (m, n) расположена на прямой ax + by + c = 0. Таким образом,
Из этого получаем длину отрезка между этими двумя точками:
- [5].
Геометрическое доказательство
[править | править код]Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Баллантин и Джерберт[6] не упомянули это ограничение в своей статье.
Опустим перпендикуляр из точки P с координатами (x0, y0) на прямую с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначим основание перпендикуляра буквой R. Проведём вертикальную прямую через P и обозначим пересечение этой вертикальной прямой с исходной прямой буквой S. В произвольной точке T на прямой нарисуем прямоугольный треугольник TVU, катеты которого являются горизонтальными и вертикальными отрезками, а длина горизонтального отрезка равна |B| (см. рисунок). Вертикальный катет треугольника ∆TVU будет иметь длину |A|, поскольку наклон прямой равен -A/B.
Треугольники ∆SRP и ∆UVT подобны, так как они оба прямоугольные и ∠PSR ≅ ∠VUT, поскольку являются соответственными углами двух параллельных прямых PS и UV (вертикальные прямые) и секущей (исходная прямая)[7]. Выпишем отношения сторон этих треугольников:
Если точка S имеет координаты (x0,m), то |PS| = |y0 — m| и расстояние от P до прямой равно:
Поскольку S находится на прямой, мы можем найти значение m,
и получаем: [6]
Другой вариант этого доказательства — поместить точку V в точку P и вычислить площадь треугольника ∆UVT двумя способами, после чего получим , где D — высота треугольника ∆UVT на гипотенузу из точки P. Формула расстояния может быть использована, чтобы выразить , и в терминах координат P и коэффициентов уравнения исходной прямой, в результате чего получим требуемую формулу.
Доказательство с помощью проекции вектора
[править | править код]Пусть P — точка с координатами (x0, y0) и пусть исходная прямая имеет уравнение ax + by + c = 0. Пусть Q = (x1, y1) — любая точка на прямой и n — вектор (a, b) с началом в точке Q. Вектор n перпендикулярен прямой, и расстояние d от точки P до прямой равно длине ортогональной проекции на n. Длина этой проекции равна:
Теперь
- так что и
Тогда
Поскольку Q лежит на прямой, , а тогда [8][9][10]
Другие формулы
[править | править код]Можно получить другие выражения для кратчайшего расстояния от точки до прямой. Эти выводы тоже требуют, чтобы прямая не была вертикальной или горизонтальной.
Пусть точка P задана координатами (). Пусть прямая задана уравнением . Уравнение прямой, перпендикулярной исходной прямой и проходящей через точку P, задаётся уравнением .
Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой для точки P. Тогда:
Мы можем решить это уравнение по x,
Координату y точки пересечения можно найти, подставив значение x в уравнение исходной прямой,
Подставив полученные значения в формулу расстояния , получим формулу кратчайшего расстояния от точки до прямой:
Если заметить, что m = -a/b и k = -c/b для уравнения ax + by + c = 0, после небольших выкладок получим стандартное выражение[2].
Формулировка с помощью векторов
[править | править код]Запишем прямую в векторном виде:
- ,
где x — вектор, задающий координаты любой точки на прямой, n — единичный вектор в направлении прямой, a — вектор, задающий две координаты точки на прямой, а t — скаляр. То есть для получения точки x на прямой начинаем с точки a на прямой и двигаемся на расстояние t вдоль прямой.
Расстояние от произвольной точки p до прямой задаётся формулой
Эта формула геометрически строится следующим образом: — это вектор из p в точку a на прямой. Тогда — это длина проекции на прямую, а тогда
— это вектор, являющийся проекцией на прямую. Тогда
является компонентой вектора , перпендикулярной прямой. Следовательно, расстояние от точки до прямой равно норме этого вектора[11]. Эта формула может быть использована и в более высоких размерностях.
Другая формулировка с помощью векторов
[править | править код]Если векторное пространство ортонормально, а прямая (d ) проходит через точку B и имеет вектор направления[англ.] , то расстояние от точки A до прямой (d) равно
- ,
где — векторное произведение векторов и , а — норма вектора .
Ориентированное расстояние
[править | править код]Рассмотрим прямую с уравнением где , то есть прямая не проходит через начало координат , и произвольную точку . Тогда расстояние от точки до прямой равно следующему выражению[12]:
Возможны три случая[12]:
- знаки чисел и одинаковы. В этом случае точки и находятся по одну сторону от данной прямой;
- знаки чисел и противоположны. В этом случае точки и находятся по разные стороны от данной прямой;
- , то есть . В этом случае точка принадлежит данной прямой.
Ориентированное расстояние от точки до прямой — число
полученное из координат точки и прямой , [12].
Обобщения
[править | править код]- Расстояние от точки в трёхмерном пространстве до плоскости задаётся аналогичной формулой[13]:
См. также
[править | править код]- Пересечение двух прямых[англ.]
- Расстояние между двумя прямыми
- Расстояние между скрещивающимися прямыми
Примечания
[править | править код]- ↑ Larson, Hostetler, 2007, p. 452.
- ↑ 1 2 Larson, Hostetler, 2007, p. 522.
- ↑ Привалов, 1966, с. 67.
- ↑ Делоне, Райков, 1948, с. 195.
- ↑ Laudanski, 2014.
- ↑ 1 2 Ballantine, Jerbert, 1952, с. 242–243.
- ↑ Если два треугольника окажутся по разные стороны от исходной прямой, эти углы будут накрест лежащими, а потому опять равными.
- ↑ Anton, 1994, с. 138-9.
- ↑ Федотов, Карпов, 2005, с. 86.
- ↑ Моденов, 1967, с. 152.
- ↑ Sunday, Dan. Lines and Distance of a Point to a Line . // softSurfer. Дата обращения: 6 декабря 2013. Архивировано 14 декабря 2017 года.
- ↑ 1 2 3 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 28. Расстояние от точки до прямой, с. 49.
- ↑ OnlineMSchool . Дата обращения: 2 декабря 2020. Архивировано 17 января 2021 года.
Источники
[править | править код]- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.
Литература
[править | править код]- Делоне Б. Н., Райков Д. А. . Аналитическая геометрия. T. 1. — М., Л.: ОГИЗ, 1948. — 456 с.
- Моденов П. С. . Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1967. — 697 с.
- Привалов И. И. . Аналитическая геометрия. 13-е изд. — М.: Наука, 1966. — 272 с.
- Федотов А. Г., Карпов Б. В. . Аналитическая геометрия. — М.: МГИЭМ, 2005. — 158 с. — ISBN 5-94506-116-6.
- Anton H. . Elementary Linear Algebra. 7th ed. — Somerset: John Wiley & Sons, 1994. — ISBN 0-471-58742-7.
- Ballantine J. P., Jerbert A. R. Distance from a Line or Plane to a Point // American Mathematical Monthly. — 1952. — Vol. 59. — P. 242—243. — doi:10.2307/2306514.
- Larson R., Hostetler R. . Precalculus: A Concise Course. — Boston: Houghton Mifflin, 2007. — xvii + 526 + 102 p. — ISBN 0-618-62719-7.
- Laudański L. M. . Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units with Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2014. — x + 318 p. — (Intelligent Systems Reference Library, vol. 31). — ISBN 978-3-642-25696-7.
Дополнительная литература
[править | править код]- Deza M. M., Deza E. . Encyclopedia of Distances. 2nd ed. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2013. — xviii + 650 p. — ISBN 978-3-642-30957-1. — P. 86.
Для улучшения этой статьи желательно:
|