Расширение поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Расшире́ние по́ля (реже употребляется термин надполе)  — поле , содержащее данное поле в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.

Базовые определения[править | править код]

Если  — поле, его подполе — это его подмножество , замкнутое относительно сложения и умножения, взятия обратного и противоположного элементов и содержащее единицу, на котором введены те же операции, что и в поле . В этом случае называется расширением поля , заданное расширение обычно обозначают (также используются обозначения и ). Любой гомоморфизм полей инъективен, то есть является вложением. Из этого следует, что задание конкретного расширения эквивалентно заданию гомоморфизма .

Если задано расширение и подмножество поля , то наименьшее подполе , содержащее и , обозначается и называется полем, порождённым множеством над полем . Расширения, порождённые одним элементом, называются простыми расширениями, а расширения, порождённые конечным множеством — конечно порождёнными расширениями. Элемент, порождающий простое расширение, называется примитивным элементом.

Для любого расширения является векторным пространством над полем . В этой ситуации элементы можно понимать как «векторы», а элементы  — как «скаляры», умножение вектора на скаляр задаётся операцией умножения в поле . Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается . Расширение степени 1 называется тривиальным, расширения степени 2 и 3 — квадратичными и кубическими соответственно. Расширение конечной степени называют конечным, в противном случае — бесконечным.

Примеры[править | править код]

Поле комплексных чисел является расширением поля действительных чисел . Это расширение конечно: , так как является базисом. В свою очередь, поле действительных чисел является расширением поля рациональных чисел; степень этого расширения равна мощности континуума, поэтому это расширение бесконечно.

Множество является расширением поля , которое, очевидно, является простым. Конечные расширения называются алгебраическими числовыми полями и являются важным объектом изучения алгебраической теории чисел.

Обычная процедура построения расширения данного поля, позволяющая добавить в него корень многочлена  — это взятие факторкольца кольца многочленов по главному идеалу, порожденному . Например, пусть поле не содержит корня уравнения . Следовательно, многочлен является неприводимым в , следовательно, идеал  — максимальный, а значит факторкольцо является полем. Это поле содержит корень уравнения  — образ многочлена при отображении факторизации. Повторив подобную процедуру несколько раз, можно получить поле разложения данного многочлена, то есть поле, в котором данный многочлен раскладывается на линейные множители.

Алгебраичность и трансцендентность[править | править код]

Пусть  — расширение поля . Элемент называется алгебраическим над , если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в . Элементы, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными. Например, для расширения мнимая единица является алгебраическим числом, так как удовлетворяет уравнению .

Особенно важен частный случай расширений : термины алгебраическое число и трансцендентное число (без указания основного поля) употребляют именно для случая данного расширения.

Если каждый элемент расширения является алгебраическим над , называется алгебраическим расширением. Неалгебраические расширения называются трансцендентными.

Подмножество поля называется алгебраически независимым над , если не существует ненулевого многочлена (от конечного числа переменных) с коэффициентами в , такого, что при подстановке в него конечного подмножества чисел из получится ноль. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности данного расширения. Для любого расширения можно найти алгебраически независимое множество , такое что является алгебраическим расширением. Множество , удовлетворяющее этому условию, называется базисом трансцендентности данного расширения. Все базисы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени транцендентности расширения.

Простое расширение является конечным, если порождается алгебраическим элементом. В противном случае единственные элементы , являющиеся алгебраическими над  — это сами элементы .

Расширения Галуа[править | править код]

Алгебраическое расширение называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен над , имеющий хотя бы один корень в , разлагается в на линейные множители.

Алгебраическое расширение называется сепарабельным, если каждый элемент является сепарабельным, то есть его минимальный многочлен не имеет кратных корней. В частности, теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение имеет примитивный элемент (то есть является простым расширением). Расширение Галуа — это расширение, являющееся одновременно сепарабельным и нормальным.

Для любого расширения можно рассмотреть группу автоморфизмов поля , действующих тождественно на поле . Когда расширение является расширением Галуа, эта группа называется группой Галуа данного расширения.

Для расширения часто бывает полезно описать промежуточные поля (то есть подполя , содержащие ). Основная теорема теории Галуа утверждает, что существует биекция между множеством промежуточных полей и множеством подгрупп группы Галуа, обращающая порядок по включению.

Литература[править | править код]