Расширенная числовая прямая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Расширенная (аффинно расширенная) числовая прямая — множество вещественных чисел , дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть . Следует понимать, что не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы и считаются неравными друг другу.[1]

При этом для любого вещественного числа по определению полагают выполненными неравенства . В некоторых дидактических материалах термин «расширенная числовая прямая» используется по отношению к числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой, не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной.[2]

Знак плюс для элемента часто не опускается как у других положительных чисел для того, чтобы избежать путаницы с беззнаковой бесконечностью проективно расширенной числовой прямой. Однако иногда знак всё же опускается, и в таких случаях проективная бесконечность обычно обозначается как .

Порядок[править | править код]

Множество вещественных чисел линейно упорядоченно по отношению . Однако в нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы как раз состоит в добавлении максимального () и минимального () элементов.

Благодаря этому в системе всякое непустое множество имеет точную верхнюю грань (конечную, если множество ограничено сверху, и , если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов и .[3][4]

В расширенной числовой прямой существует 3 вида промежутков: интервал, полуинтервал и отрезок.

 — интервал
,  — полуинтервал
 — отрезок

Так как бесконечности здесь такие же равноправные элементы как и числа, конечные и бесконечные промежутки не различаются как отдельные виды промежутков.[5]

Топология[править | править код]

Отношение порядка порождает топологию на . В топологии открытыми промежутками являются промежутки вида:

где . Открытые множества же задаются как всевозможные объединения открытых промежутков.

Окрестности[править | править код]

Окрестностью точки называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии , всякая окрестность точки включает один из открытых промежутков, содержащий .

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие -окрестности точки расширенной числовой прямой ().

В случае , то есть когда является числом, -окрестностью называется множество:

Если же , то:

а если , то:

Понятие -окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа соответствующие окрестности уменьшаются: .[6]

Проколотые окрестности и -окрестности определяются соответственно как окрестность и -окрестность, из которых удалили саму точку.

Пределы[править | править код]

Во многих курсах матанализа часто пределы при стремления к плюс или минус бесконечности определяются отдельно. Также часто отдельно определяются равенства пределов плюс и минус бесконечноти. В все эти ситуации укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть , где . В частности, может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть . Тогда:

При этом стремление к бесконечности с обеих сторон и равенство предела беззнаковой бесконечности этим определением не охватываются. Эти случа тоже могут быть охвачены общетопологическим определением предела, но уже в другой структуре, а именно в проективно расширенной числовой прямой.

Несмотря на то, что аффинно и проективно расширенные числовые прямые разные структуры, пределы в них связаны между собой. Если предел в равен одной из бесконечностей, то в он также равен бесконечности. Наоборот это не работает: если предел в равен бесконечности, это ещё не значит, что в он будет равен одной из бесконечностей. Пример этому всё тот же в равен бесконечности, а в он не существует. Однако, связь между двумя структурами всё же можно сформулировать в виде утверждения в обе стороны: предел в равен бесконечности равен бесконечности тогда и только тогда, когда в он либо равен одной из бесконечностей, либо не существует, но при этом множество его частичных пределов состоит только из бесконечностей.

Компактность[править | править код]

 — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел может рассматриваться как двухточечная компактификация .[2] При этом оказывается гомеоформным отрезку . Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм задаётся формулой:

В теорема Больцано — Вейерштрасса выполняется для любой последовательности, а не только для ограниченной. Это значит, что у любой последовательности в существует сходящаяся в подпоследовательность. Таким образом, секвенциально компактно.

Операции[править | править код]

Для вещественных чисел и элементов определены следующие действия:

Значение выражений , , , не определены.[2]

Вопреки распространённому мнению, значение выражения , где , тоже не определено. Доопределение этого выражение одной из бесконечностей нарушит непрерывность операции деления. Это можно проиллюстрировать на примере функции . Её предел в нуле слева равен , а справа , что означает, что двустороннего предела в этой точке нет. Из-за этого как бы мы не доопределили функцию в нуле, она останется разрывной.

Часто встречающаяся запись или относится к принципиально другой структуре — проективно расширенной числовой прямой, в которой бесконечность представляет собой совершенно другой объект.

Алгебраические свойства[править | править код]

Следующие равенства означают: обе части либо обе равны, либо обе не имеют смысла

Следующие равенства верны, если их правая часть определена.

Следующие свойства верны, если обе части правого неравенства имеют смысл

  • если , то
  • если , то

См. также[править | править код]

Проективно расширенная числовая прямая

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
  • Cantrell D. W. Affinely Extended Real Numbers (англ.). Wolfram Math World. Weisstein E. W.. Дата обращения: 9 января 2022.
  • Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3.