Расширенная числовая прямая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Расширенная числовая прямая (читается «эр с чертой») — множество вещественных чисел , дополненное двумя элементами: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть

Бесконечности и , которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами[источник не указан 897 дней], в отличие от вещественных чисел , называемых конечными числами. При этом для любого вещественного числа по определению полагают выполненными неравенства

Следует отличать расширенную числовую прямую от множества вещественных чисел, дополненного одной бесконечностью . Такая система называется проективной прямой, и обозначается

Мотивировка[править | править вики-текст]

При формулировке многих теорем и определений в математическом анализе приходится отдельно рассматривать случаи «конечного» и «бесконечного».

Например, отдельно формулируются понятия сходящейся последовательности

и последовательности, предел которой равен :

Отдельно формулируются понятия предела функции при

и предела при :

Таким образом, и в такой же мере являются элементами множества , как и конечные вещественные числа. Благодаря этому достигается единообразие в формулировках и доказательствах теорем математического анализа.[источник не указан 897 дней]

Упорядоченность[править | править вики-текст]

Множество вещественных чисел линейно упорядоченно по отношению . Однако в нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы как раз состоит в добавлении максимального () и минимального () элементов.

Благодаря этому, в системе всякой непустое множество имеет точную верхную грань (конечную, если множество ограничено сверху, и , если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов и .

Топология расширенной числовой прямой[править | править вики-текст]

Открытые множества и окрестности[править | править вики-текст]

Отношение порядка порождает топологию на . В топологии открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов

где .

Окрестностью точки называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии , всякая окрестность точки включает один из интервалов указанного вида, содержащий .

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие -окрестности точки расширенной числовой прямой ().

В случае , то есть когда является числом, -окрестностью называется множество

Если же , то

а если , то

Понятие -окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда  является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа соответствующие окрестности уменьшаются: .

Пределы[править | править вики-текст]

В все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть , где . В частности может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть

Компактность[править | править вики-текст]

 — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел может рассматриваться как двухточечная компактификация . При этом оказывается гомеоформным отрезку . Этот факт имеет наглядное геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм задается формулой

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
  • Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3.