Рациональная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пример рациональной функции от одной переменной:
Пример рациональной функции от двух переменных

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.

Определение[править | править вики-текст]

Рациональной функцией называется функция вида

где  ,   — многочлены от любого числа переменных.

Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль.

Частным случаем являются рациональные функции одной переменной:

, где и  — многочлены.

Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Свойства[править | править вики-текст]

Правильные дроби[править | править вики-текст]

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если это не так.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения ( — вещественный корень ) либо (где не имеет действительных корней), причём степени не больше кратности соответствующих корней в многочлене . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским[1].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.