Рациональная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пример рациональной функции от одной переменной:
Пример рациональной функции от двух переменных

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение[⇨], то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Формальное определение[править | править код]

Рациональная функция[1][2], или дробно-рациональная функция[1][3], или рациональная дробь[3] — это числовая функция вида

где комплексные () или вещественные () числа, — рациональное выражение от . Рациональное выражение — это выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень)[4].

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов и :

где Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов и :

и [4].

Частные случаи[править | править код]

где переменная действительна.
  • Преобразование Кэли
имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. Жуковским[5].

Обобщения[править | править код]

  • Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)
где [4].
  • Абстрактные рациональные функции
где линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве, и — числовые коэффициенты[4].

Вещественная рациональная функция[править | править код]

Несократимая рациональная дробь[править | править код]

Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем[3].

Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике[3].

Правильная рациональная дробь[править | править код]

Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби[3].

Простейшая рациональная дробь[править | править код]

Правильная рациональная дробь простейшая, если её знаменатель представляет собой степень неприводимого многочлена :

а степень числителя меньше степени . Имеют место быть две теоремы[3].

  • Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
  • Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей[править | править код]

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:

Свойства[править | править код]

  • Любое выражение, которое можно получить из переменных с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
  • Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

Правильные дроби[править | править код]

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения ( — вещественный корень ) либо (где не имеет действительных корней), причём степени не больше кратности соответствующих корней в многочлене . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским[11].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]