Регулярное локальное кольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Регулярное локальное кольцо — нётерово локальное кольцо, такое что число образующих его максимального идеала совпадает с размерностью Крулля. Название регулярное объясняется геометрическими причинами. Точка алгебраического многообразия является неособой (регулярной) тогда и только тогда, когда локальное кольцо ростков рациональных функций в точке регулярно.

Эквивалентные определения[править | править вики-текст]

Существует несколько полезных определений регулярного локального кольца. В частности, если  — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом , следующие определения эквивалентны:

  • Пусть где выбрано настолько малым, насколько это возможно (в любом случае, n не может быть меньше размерности Крулля). регулярно, если
  • Пусть  — поле вычетов кольца . Тогда регулярно, если
,
Здесь первая размерность — размерность векторного пространства, а вторая — размерность Крулля.
,
в этом случае всегда совпадает с размерностью Крулля.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Любое поле — регулярное локальное кольцо. На самом деле, поля — это в точности регулярные локальные кольца размерности 0.
  • Регулярные локальные кольца размерности 1 — это в точности кольца дикретного нормирования. В частности, кольцо формальных степенных рядов (k — произвольное поле) является регулярным локальным кольцом. Другой пример — кольцо p-адических чисел.
  • Более общо, кольцо формальных степенных рядов  — регулярное локальное кольцо размерности d.
  • Если A — регулярное кольцо (см. определение ниже), то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов регулярны.
  • Любая локализация регулярного кольца регулярна. Например,  — двумерное регулярное кольцо, не содержащее никакого поля.
  • Пополнение[en] регулярного кольца регулярно.

Свойства[править | править вики-текст]

Теорема Аусландера — Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо факториально.

Если  — полное регулярное локальное кольцо, содержащее некоторое поле, то

,

где , а  — размерность Крулля.

Происхождение основных определений[править | править вики-текст]

Определение регулярного локального кольца было дано Вольфгангом Круллем в 1937 году,[1] однако они стали известными благодаря работам Оскара Зарисского,[2][3] который доказал что регулярные локальные кольца соответствуют гладким точкам алгебраических многообразий. Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в n-мерном аффинном пространстве над совершенным полем, задающееся как множество общих нулей многочленов (от n переменных) f1,…,fm. Y является особым в точке P, если ранг матрицы Якоби (матрицы (∂fi/∂xj)) в этой точке ниже, чем в другой точке многообразия. Размерность многообразия равна разности n и ранга матрицы Якоби в неособой точке. Зарисский доказал, что матрица Якоби точка P неособая тогда и только тогда, когда локальное кольцо многообразия Y в P регулярно. (Зарисский также заметил, что это не обязательно верно над несовершенными полями.) Из этого следует, что гладкость является внутренним свойством многообразия, то есть не зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное пространство. В 1950-х годах Аусландер и Бухсбаум доказали, что регулярное локальное кольцо факториально.

Многие свойства локальных колец оставались недоказанными до того времени, когда появились соответствующие техники гомологической алгебры. Жан-Пьер Серр нашёл описание регулярных локальных колец в гомологических терминах: локальное кольцо A регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Нетрудно доказать, что свойство конечности глобальной размерности остаётся неизменным при локализации. Это позволяет определить регулярность для всех колец, не обязательно локальных: кольцо A называется регулярным, если его локализация по произвольному простому идеалу — регулярное локальное кольцо. Это эквивалентно утверждению, что A имеет конечную глобальную размерность. В частности, все дедекиндовы кольца регулярны.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Krull, Wolfgang (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Math. Z.: 745–766 
  2. Zariski, Oscar (1940), "Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0", Amer. J. Math. Т. 62: 187–221 
  3. Zariski, Oscar (1947), "The concept of a simple point of an abstract algebraic variety", Trans. Amer. Math. Soc. Т. 62: 1–52 

Литература[править | править вики-текст]