Регулярный граф

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Регуля́рный (одноро́дный) графграф, степени всех вершин которого равны, то есть каждая вершина имеет одинаковое количество соседей. Степень регулярности является инвариантом графа и обозначается . Для нерегулярных графов не определено. Регулярные графы представляют особую сложность для многих алгоритмов.

Регулярный граф с вершинами степени k называется k‑регулярным, или регулярным графом степени k.

Регулярные графы степени не больше двух легко классифицировать: 0-регулярный граф состоит из изолированных вершин (нуль-граф), 1-регулярный — из изолированных рёбер, а 2-регулярный — из разрозненных циклов.

3-регулярный граф известен также как кубический.

Сильно регулярный граф есть регулярный граф, у которого каждая пара смежных вершин имеет одинаковое количество l общих соседей, и каждая пара несмежных вершин имеет одинаковое количество n общих соседей. Наименьшие графы, которые регулярны, но не сильно регулярны — циклический граф и циркулянтный граф на шести вершинах.

Полный граф является сильно регулярным для любого .

Теорема Нэш-Вильямса[en] гласит, что каждый k‑регулярный граф на 2k + 1 вершинах имеет гамильтонов цикл.

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

Пусть A есть матрица смежности графа. Тогда граф регулярен тогда и только тогда, когда есть собственный вектор A[1]. Его собственное число будет постоянной степенью графа. Собственные вектора, соответствующие другим собственным числам, ортогональны , поэтому для собственных векторов мы имеем .

Регулярный граф степени k связен тогда и только тогда, когда собственное число k имеет единичную кратность[1].

Другой критерий регулярности и связности графа: граф связен и регулярен тогда и только тогда, когда матрица J с находится в алгебре смежности[en] графа[2].


Пусть G есть k-регулярный граф диаметра D и с собственными числами матрицы смежности . Если G не двудолен:

[3] [4]

где

.

Генерация[править | править вики-текст]

Регулярный граф можно сгенерировать программой GenReg.[5]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Д. М. Цветкович, М. Дуб и Х. Сачс, «Спектр графов: теория и применение», 3-я редакция, Нью-Йорк: Уайли, 1998.
  2. Curtin, Brian (2005), "Algebraic characterizations of graph regularity conditions", Designs, Codes and Cryptography Т. 34 (2-3): 241–248, DOI 10.1007/s10623-004-4857-4 
  3. Gregory Quenell Spectral diameter estimates for k-regular graphs.
  4. Fan R.K. Chung. Spectral Graph Theory. — American Mathematical Society, 1997. — (CBMS). — ISBN 0821803158.
  5. М. Мерингер, "Теория графов", 1999, 30, 137.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Weisstein, Eric W. Regular Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Strongly Regular Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • GenReg программа и данные Маркуса Мерингера.
  • Nash-Williams, Crispin (1969), "Valency Sequences which force graphs to have Hamiltonian Circuits", University of Waterloo Research Report, Waterloo, Ontario: University of Waterloo