Резольвента (гомологическая алгебра)

Резольве́нта — один из важных инструментов гомологической алгебры, в частности служащий для вычисления функторов Ext и Tor.

Проективная резольвента

Компле́ксом (X, ε) над R-модулем C называется последовательность

$\cdots ~X_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}X_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}~\cdots ~{\stackrel {d_{2}}{\longrightarrow }}X_{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}X_{0}{\stackrel {\varepsilon }{\longrightarrow }}C{\longrightarrow }0$   (*)

такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все X свободные, комплекс называется свободным, если проективные — проективным. Если последовательность (*) точна, то есть все гомологии H_n(X) = ker d_n/im d_n+1 = 0 при n > 0 и H₀(X) = ker d₀/im d₁ = X₀/im d₁ = X₀/ker ε изоморфна C (считая d₀ : X₀ → 0), то данный комплекс называется резольвентой R. Так как любой модуль C является фактормодулем свободного, то любой модуль C можно включить в некоторую свободную (и, тем более, проективную) резольвенту.

Наименьший индекс k, такой что все X_n при n > k нулевые, называется длиной резольвенты. Проективная размерность модуля — это наименьшая длина его проективной резольвенты. Например, проективный модуль — это в точности модуль проективной размерности 0.

Функторы Extⁿ находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R-модули, а ε : X → C — любая проективная резольвента C, то Extⁿ(C, A) изоморфен группе когомологий Hⁿ(X, A) = Hⁿ(Hom_R(X, A)). Функторы Tor_n находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R-модули, а ε : X → C — любая проективная резольвента C, то Tor_n(C, A) изоморфен группе гомологий H_n(X  ⊗_R A).

Инъективная резольвента

Комплексом (Y, ε) под R-модулем A называется последовательность:

$0{\longrightarrow }A{\stackrel {\varepsilon }{\longrightarrow }}Y^{0}{\stackrel {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}Y^{1}{\stackrel {\delta ^{2}}{\longrightarrow }}~...~{\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}Y^{n}{\stackrel {\delta ^{n+1}}{\longrightarrow }}Y^{n+1}{\longrightarrow }~\cdots$   (**)

такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все Y инъективные, комплекс называется инъективным. Если последовательность (**) точна, то есть все когомологии Hⁿ(Y) = ker δⁿ⁺¹/im δⁿ = 0 при n > 0 и H⁰(Y) = ker δ¹/im δ⁰ = ker δ¹ = im ε изоморфна A (считая δ⁰ : 0 → Y⁰), то данный комплекс называется корезольвентой (обычно в этом случае «ко» опускается и говорится об инъективной резольвенте). Так как любой модуль A является подмодулем инъективного и т. д., то любой модуль A можно включить в некоторую инъективную резольвенту.

Функторы Extⁿ находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R-модули, а ε : A → Y — любая инъективная резольвента A, то Extⁿ(C, A) изоморфен группе когомологий Hⁿ(Hom_R(C, Y)).

Литература

• Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М: ИЛ, 1960
• Маклейн С. Гомология. — М: Мир, 1966