Результант

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, результантом двух многочленов и над некоторым полем , старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение

иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов и (лежащих, быть может, вне поля ), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов и . Для многочленов, старшие коэффициенты которых ( и соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на

Свойства и способы вычисления[править | править вики-текст]

  • Основным свойством результанта (и его основным применением) является следующее: результант — многочлен от коэффициентов и , равный нулю в том и только в том случае, когда у многочленов и имеется общий корень (возможно, в некотором расширении поля ).
  • Результант может быть найден как определитель матрицы Сильвестра.
  • Дискриминант — это, с точностью до знака, результант многочлена и его производной, поделённый на старший коэффициент многочлена; тем самым, дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда у многочлена есть кратные корни.
  • Если , то
  • , т.е. результант тогда и только тогда равен нулю, когда НОД многочленов нетривиален. Вообще, вычисление результанта может быть произведено с помощью алгоритма Евклида, и именно так вычисляется результант в различных матпакетах.
  • Для многочленов существуют многочлены с такие, что
. Многочлены с могут быть получены из представления результанта определителем в форме Сильвестра, в котором последний столбец заменен на для или на для .
  • Для сепарабельного многочлена (в частности, для полей характеристики нуль) результант равен произведению значений одного из многочленов по корням другого (как и раньше, произведение берётся с учётом кратности корней):

Литература[править | править вики-текст]

  • Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.
  • Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. — СПбГУ, НИИ химии, 2002.

Ссылки[править | править вики-текст]