Рефлексивное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Рефлексивное пространство — банахово пространство (в более общем случае локально выпуклое пространство) , совпадающее при каноническом вложении со своим вторым сопряженным .

Рефлексивные банаховы пространства[править | править вики-текст]

Пусть  — банахово пространство над полем комплексных чисел[1], а  — пространство, сопряженное к , то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов с нормой

.

Второе сопряженное пространство определяется как пространство, сопряженное к . При фиксированном отображение является линейным непрерывным функционалом на , то есть элементом пространства . Поэтому определено отображение , , , . Если оно является изоморфизмом банаховых пространств, то банахово пространство называется рефлексивным. Достаточным условием для этого является сюръективность отображения , то есть условие .

Примеры:

Свойства:

  • Пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда рефлексивно.
  • Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар этого пространства слабо компактен.
  • Рефлексивное пространство слабо полно. Обратное неверно, существуют слабо полные нерефлексивные пространства, например .
  • Замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.

Рефлексивные локально выпуклые пространства[править | править вики-текст]

Понятие рефлексивности естественным образом распространяется на локально выпуклые пространства.

Для всякого локально выпуклого пространства обозначим через пространство линейных непрерывных функционалов на , наделенное сильной топологией , то есть топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в . Пространство называется сопряженным пространством к пространству . Как и в банаховом случае второе сопряженное пространство определяется как пространство, сопряженное к . Формула , , определяет естественное отображение пространства во второе сопряженное пространство .

Если отображение является изоморфизмом локально выпуклых пространств, то пространство называется рефлексивным локально выпуклым пространством.

Примеры:

  • В частном случае, когда пространство банахово, его рефлексивность как банахова пространства эквивалентна его рефлексивности как локально выпуклого пространства.
  • Пространство гладких функций на гладком многообразии рефлексивно.
  • Пространство голоморфных функций на комплексном аналитическом многообразии рефлексивно.

Стереотипные пространства и другие обобщения рефлексивности[править | править вики-текст]

Среди всех локально выпуклых пространств (даже среди всех банаховых пространств) используемых в функциональном анализе класс рефлексивных пространств слишком узок, чтобы образовывать самодостаточную категорию в каком-нибудь смысле. Отражаемая этим понятием идея двойственности, однако, рождает интуитивные ожидания, что подходящие изменения в определении рефлексивности могут привести к другому понятию, более удобному для внутренних целей математики. Одной из таких целей может считаться идея приближения анализа к другим частям математики, таким как алгебра и геометрия путём переформулировки результатов анализа на чисто алгебраическом языке теории категорий.

Эта программа разрабатывается в теории стереотипных пространств, определяемых как локально выпуклые пространства удовлетворяющие похожему условию рефлексивности, однако с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (вместо ограниченных множеств) в определении пространства . По контрасту с классическими рефлексивными пространствами класс Ste стереотипных пространств весьма широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше и поэтому все банаховы пространства), он образует замкнутую моноидальную категорию, и он допускает стандартные операции (определенные внутри Ste) построения новых пространств, такие как взятие замкнутого подпространства, отделимого фактор-пространства, проективные и инъективные пределы, пространства операторов, тензорные произведения, и т. д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности некоммутативных групп.

Аналогично можно заменять класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в в определении сопряженного пространства другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств в — пространства определенные соответствующим условием рефлексивности называются рефлективными[2][3], и они образуют даже более широкий класс чем Ste, однако неизвестно (2012), образует ли этот класс категорию со свойствами, близкими к свойствам Ste.

Литература[править | править вики-текст]

  • Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
  • Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
  • Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
  • Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
  • Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
  • Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. — М.: Мир, 1967.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. …или над полем вещественных чисел с аналогичным определением.
  2. Garibay Bonales, F.; Trigos-Arrieta, F.J., Vera Mendoza, R. (2002). «A characterization of Pontryagin-van Kampen duality for locally convex spaces». Topology and its Applications 121: 75–89.
  3. Akbarov, S. S.; Shavgulidze, E. T. (2003). «On two classes of spaces reflexive in the sense of Pontryagin». Mat. Sbornik 194 (10): 3–26.