Решётка Лича

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Решётка Лича — специальная решётка в 24-мерном пространстве, реализующая в этой размерности:

Решётка Лича является чётной самодвойственной (в частности, унимодулярной) решёткой с длиной кратчайшего вектора равной 2, а её контактное число равно[1][2] 196560.

Конструкции[править | править код]

Конструкция через код Голея[править | править код]

Решётка Лича может быть определена с помощью кода Голея типа как образ при сжатии в раз множества векторов таких, что

и для каждого класса j вычетов по модулю 4 двоичное 24-битовое слово v, заданное как

принадлежит .

Конструкция через лоренцево пространство сигнатуры (25,1)[править | править код]

Решётка Лича может быть построена с помощью лоренцева пространства сигнатуры (25,1). А именно, в этом пространстве рассматривается чётная унимодулярная решётка , состоящая из векторов , у которых все координаты одновременно целые или одновременно полуцелые, и при этом , иными словами, скалярное произведение с вектором из всех единиц чётно.

Такой решётке принадлежит изотропный вектор . Отметим, что в силу изотропности , поэтому можно рассмотреть факторпространство . Ограничение скалярного произведения на это факторпространство (опять-таки, в силу изотропности ) корректно определено и оказывается положительно определённым. Образ пересечения исходной решётки с ортогональным дополнением при такой факторизации и будет решёткой Лича в получившемся 24-мерном евклидовом пространстве[5].

Симметрия[править | править код]

Группа автоморфизмов решётки Лича — группа Конвея[en] Co0. Она включает в себя некоторые спорадические группы, в том числе Co1 как фактор-группу Co0 по инверсии пространства, Co2[en] и Co3[en] как подгруппы. Группа Конвея имеет порядок 8 315 553 613 086 720 000. Хотя вращательная симметрия решётки Лича очень высока, её группа автоморфизмов не включает никаких отражений; иными словами, решётка Лича хиральна.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 «Контактное число шаров и сферические коды» — фильм из серии «Математические этюды»
  2. 1 2 Weisstein, Eric W. Leech Lattice (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Аннотация курса В. В. Успенского Решетка Лича, или По направлению к Монстру
  4. Lisa Grossman. New maths proof shows how to stack oranges in 24 dimensions (англ.) // New Scientist. — 2016. — 28 March.
  5. J. H. Conway, N. J. A. Sloane. Chapter 26, Theorem 3(b) // Sphere packings, lattices and groups. — P. 524.