Ромбокубооктаэдр

Ромбокубоокта́эдр
(вращающаяся модель)
Тип	полуправильный многогранник
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	26 граней 48 рёбер 24 вершины Χ = 2
Грани	равносторонние треугольники (8), квадраты (18)
Двойственный многогранник	Дельтоидальный икоситетраэдр
Развёртка
Классификация
Символ Шлефли	rr{4,3}
Группа симметрии	Oh
Медиафайлы на Викискладе

Ромбокубооктаэдр или ромбокубоктаэдр — полуправильный многогранник, гранями которого являются 18 квадратов и 8 треугольников. Также называется малым ромбокубооктаэдром.

Алгебраические свойства

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин ромбокубооктаэдра с центром в начале координат и длиной рёбер равной двум — это все 24 возможные чётные перестановки со знаками следующей тройки:

$\left(\pm 1,\pm 1,\pm \left(1+{\sqrt {2}}\right)\right).$

Если исходный ромбокубооктаэдр имеет единичные рёбра, то длины рёбер двойственного ему дельтоидального икоситетраэдра вычисляются по формулам:

${\frac {2}{7}}{\sqrt {10-{\sqrt {2}}}}\quad {\text{ и }}\quad {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}.$

Площадь и объём

Площадь $S$ и объём $V$ ромбокубооктаэдра с длиной ребра $a$ вычисляются по формулам:

${\begin{aligned}S&=\left(18+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 21.464\,1016a^{2};\\V&={\frac {12+10{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}\approx 8.714\,045\,21a^{3}.\end{aligned}}$

Псевдоромбокубооктаэдр

Повернув верхнюю часть ромбокубооктаэдра, включающую 5 квадратных и 4 треугольных грани, на угол 45°, можно получить новый многогранник — псевдоромбокубооктаэдр. Псевдоромбокубооктаэдр имеет равные многогранные углы, однако, строго говоря, не относится к архимедовым многогранникам; впрочем, его можно включить в список архимедовых (или полуправильных) тел, если исходить из менее жёсткого определения: полуправильные (архимедовы) многогранники — многогранники, все многогранные углы которых равны, а все грани — правильные многоугольники.

Псевдоромбокубооктаэдр не был известен на протяжении двух тысяч лет и был обнаружен в конце 50-х — начале 60-х годов двадцатого века сразу несколькими математиками, включая Дж. Миллера, советского учёного В. Г. Ашкинузе (1957), югославского математика С. Билинского (1960).

Примеры

Змейка Рубика в форме близкой к ромбокубооктаэдру

• Ромбокубооктаэдр хорошо известен любителям головоломок: сложенной в очень похожий многогранник часто продаётся знаменитая змейка Рубика (на илл. — часть квадратов заменена прямоугольниками и треугольники заменены вогнутостями из трёх прямоугольных треугольников).
• Здание Национальной библиотеки Беларуси представляет собой ромбокубооктаэдр высотой 73,6 м (23 этажа) и весом 115 000 тонн (не считая книг).
• Ромбокубооктаэдр изображен на единственном известном портрете Луки Пачоли.

Литература

• Веннинджер М. Модели многогранников / Пер. с англ. В. В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1974. — 236 с.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
• Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — С. 142-175.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382-447.