Ряд Меркатора

Сходимость ряда Меркатора к $\ln(1+x)$ (показанной оранжевым) в окрестности нуля для 4, 7, 11, 16 членов ряда

Ряд Мерка́тора (иногда называемый ряд Ньютона — Меркатора) в математическом анализе — ряд Тейлора для функции натурального логарифма, впервые опубликованный немецким математиком Николасом Меркатором (Кауфманом) в трактате «Logarithmotechnia» (1668):

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}$

Лейбниц за это открытие назвал Меркатора «первым изобретателем бесконечных рядов»; до Меркатора европейские математики рассматривали почти исключительно числовые ряды, не содержащие переменных. Независимо от Меркатора этот ряд открыл Исаак Ньютон. В работе «Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых» (1671, опубликован посмертно в 1736 году) Ньютон выразил удивление, что до Меркатора никто «не направил своего внимания на приложение к буквам [переменным] принципов недавно открытого учения о десятичных дробях, особенно потому, что при этом открывается путь к более трудным и более важным открытиям».

Ряд Меркатора способствовал подъёму массового интереса к использованию бесконечных рядов и формированию общей теории рядов и функций. К концу XVII века эта тема существенно расширилась и превратилась в математический анализ.

Ряд Меркатора сходится при $-1<x\leqslant 1,$ хотя сходимость довольно медленная. При $|x|<1$ ряд сходится абсолютно.

История

Площадь под гиперболой $y=1/x$ в интервале $(1,a)$ равна $\ln(a)$

В 1647 году Грегуар де Сен-Венсан обнаружил связь логарифма и площади под гиперболой (см. рисунок). В 1650 году, исходя из геометрических соображений, итальянский математик Пьетро Менголи опубликовал в трактате «Новые арифметические квадратуры» разложение $\ln 2$ в бесконечный ряд:

$\ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\dots$

В 1657 году эту формулу независимо опубликовал английский математик Уильям Браункер в своей статье «Квадратура гиперболы с помощью бесконечного ряда рациональных чисел».

В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман), проживавший тогда в Лондоне, в трактате «Logarithmotechnia» впервые рассмотрел разложение в ряд не числа, а функции:

${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\dots$

Далее он нашёл площади под левой и правой частями этого разложения (в современных терминах, проинтегрировал их) и получил «ряд Меркатора», который выписал для значений $x=0{,}1$ и $x=0{,}21$. Сходимость ряда Меркатор не исследовал, но сразу после выхода в свет труда Меркатора Джон Валлис указал, что ряд пригоден при $0\leqslant x<1$ (отрицательными числами тогда пренебрегали).

Как обнаружили историки науки, Ньютон вывел такой же ряд в 1665 году, но, по своему обыкновению, не позаботился о публикации. Глубокие исследования Ньютона в области бесконечных рядов были опубликованы только в 1711 году, в трактате «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов».

Вариации и обобщения

Ряд Меркатора непригоден для реальных расчётов, так как сходится очень медленно, причём в ограниченном интервале. Но уже в год публикации Меркатора (1668) Джеймс Грегори предложил модифицированный его вариант:

$\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)$

Этот ряд сходится гораздо быстрее, а логарифмируемое выражение уже может представить любое положительное число $z={\frac {1+x}{1-x}}$, ибо тогда $x={\frac {z-1}{z+1}}$ по абсолютной величине меньше единицы. Например, сумма первых 10 членов ряда Меркатора для $\ln 2$ равна $0{,}646,$ здесь только первый десятичный знак верен, в то время как ряд Грегори даёт значение $0{,}6931471805498,$ в котором верны 10 знаков из 13.

На комплексной плоскости ряд Меркатора приобретает обобщённый вид:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots$

Это ряд Тейлора для комплексной функции $f(z)=-\ln(1-z),$ где символ ln обозначает главную ветвь (главное значение) комплексного натурального логарифма. Данный ряд сходится в круге $|z|\leqslant 1,z\neq 1$.

Литература

• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.

Ссылки

• Абельсон И. Б. Меркатор находит ключ // Рождение логарифмов. — М.—Л.: Гостехиздат, 1948. — 231 с.
• Weisstein, Eric W. Mercator Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.