Ряд Фарея

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ряды Фарея (также дроби Фарея, последовательность Фарея или таблица Фарея) — семейство конечных подмножеств рациональных чисел.

Определение[править | править вики-текст]

Последовательность Фарея -ного порядка представляет собой возрастающий ряд всех положительных несократимых правильных дробей, знаменатель которых меньше или равен :

Последовательность Фарея порядка можно построить из последовательности порядка по следующему правилу:

  1. Копируем все элементы последовательности порядка .
  2. Если сумма знаменателей в двух соседних дробях последовательности порядка дает число не большее, чем , вставляем между этими дробями их медианту, равную отношению суммы их числителей к сумме знаменателей.

Пример[править | править вики-текст]

Последовательности Фарея для от 1 до 8:

Свойства[править | править вики-текст]

Если  — две соседние дроби в ряде Фарея, тогда .

Алгоритм генерации[править | править вики-текст]

Алгоритм генерации всех дробей Fn очень прост, как в возрастающем, так и в убывающем порядке. Каждая итерация алгоритма строит следующую дробь на основе двух предыдущих. Таким образом, если и — две уже построенные дроби, а — следующая неизвестная, то выполняется . Это значит, что для некотого целого верно и , отсюда и . Так как должна быть максимально близкой к , то положим знаменатель максимальным из возможных, то есть , отсюда c учетом того, что — целое, имеем и

Пример реализации на Python:

def farey( n, asc=True ):
    if asc: 
        a, b, c, d = 0, 1, 1, n
    else:
        a, b, c, d = 1, 1, n-1, n
    print "%d/%d" % (a,b)
    while (asc and c <= n) or (not asc and a > 0):
        k = int((n + b)/d)
        a, b, c, d = c, d, k*c - a, k*d - b
        print "%d/%d" % (a,b)

Таким образом можно построить сколь угодно большое множество всех дробей в сокращенном виде, что можно использовать, например, для решения Диофантова уравнения полным перебором в рациональных числах.

История[править | править вики-текст]

Джон Фарей — известный геолог, один из пионеров геофизики. Его единственным вкладом в математику были дроби, названные его именем. В 1816 году была опубликована статья Фарея «On a curious property of vulgar fractions» («Об интересном свойстве обыкновенных дробей»), в которой Фарей определил последовательность . Эта статья Фарея дошла до Коши, который в том же году опубликовал доказательство. Последовательность, описанная Фареем в 1816 году, была использована Ш.Харосом (англ.) в его статье 1802 года о приближении десятичных дробей обыкновенными дробями.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]