Ряд Штурма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ряд Штурма (система Штурма) для вещественного многочлена — последовательность многочленов, позволяющая эффективно определять количество корней многочлена на промежутке и приближённо вычислять их с помощью теоремы Штурма[⇨].

Ряд и теорема названы именем французского математика Жака Штурма, определившего ряд и его свойства, а также разработавшего конструктивный способ построения такого ряда в 1829 году.

Определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим многочлен с вещественными коэффициентами. Конечная упорядоченная последовательность отличных от нуля многочленов с вещественными коэффициентами:

называется рядом Штурма для многочлена , если выполнены следующие условия:

  • множества корней и совпадают;
  • не имеет вещественных корней;
  • если и , то ;
  • если , то произведение меняет знак с минуса на плюс, когда , возрастая, проходит через точку , то есть когда существует такое , что для и для .

Значением ряда Штурма в точке называется количество смен знака в последовательности после исключения нулей.

Иногда ряд Штурма также определяют как построенный определённым образом[⇨] ряд Штурма.

Теорема Штурма[править | править вики-текст]

Пусть  — ненулевой многочлен с вещественными коэффициентами,  — некоторый ряд Штурма для него,  — промежуток вещественной прямой, причём . Тогда число различных корней многочлена на промежутке равно , где  — значение ряда Штурма в точке .

Построение[править | править вики-текст]

Ряд Штурма существует для любого ненулевого вещественного многочлена.

Пусть многочлен , отличающийся от константы, не имеет кратных корней. Тогда ряд Штурма для него можно построить, например, следующим образом:

  • ;
  • ;
  • Если () имеет корни, то , где  — остаток от деления многочлена на многочлен в кольце многочленов , иначе .

Для произвольного многочлена, отличающегося от константы, можно положить:

,

и далее следовать приведенному выше способу. Здесь  — наибольший общий делитель многочленов и . Если многочлен есть ненулевая константа, то его ряд Штурма состоит из единственного многочлена .

Применение[править | править вики-текст]

Ряд Штурма используется для определения количества вещественных корней многочлена на промежутке (см. теорему Штурма). Отсюда вытекает возможность его использования для приближённого вычисления вещественных корней методом двоичного поиска.

Пример[править | править вики-текст]

Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена

Многочлен Знак многочлена в точке
Значение ряда в точке

Таким образом, по теореме Штурма[⇨] число корней многочлена равно:

  • на промежутке
  • на промежутке
  • на промежутке

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]