Сапог Шварца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Сапог Шварца (от немецкого Schwarzscher Stiefel) — семейство приближений кругового цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей.

Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой. Эта конструкция позволяет увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.

История[править | править код]

Данная конструкция предложена Карлом Шварцем и использовалась Эрмитом в его курсе лекций в 1881—82. [1]

Конструкция[править | править код]

Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на равных частей. В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные -угольники, причём соседние -угольники повёрнуты относительно друг друга на угол . Затем вершины -угольников соединяются так, что образуется поверхность из треугольников; каждый её «слой» — антипризма. Полученная полиэдральная поверхность называется сапогом Шварца.

Если , то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми, то есть сапог Шварца стремится к цилиндру.

Свойства[править | править код]

  • Простой подсчёт показывает, что
    • при площадь, то есть сумма площадей всех треугольных граней сапога Шварца, стремится к бесконечности.
    • при площадь сапога Шварца, стремится к площади кругового цилиндра.
  • Относительно его внутренней метрики, сапог Шварца изометричен некоторому круговому цилиндру.

Примечания[править | править код]

  1. Schwarz, H. A., «Sur une définition erronée de l’aire d’une surface courbe», Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 1 (1890), 309—311

Литература[править | править код]