Сверхсоставное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Первые четыре сверхсоставных числа: 1, 2, 4, 6 и их разложения на делители

Сверхсоставное число — натуральное число с бо́льшим числом делителей, чем любое меньшее натуральное число.

История[править | править код]

Термин был предложен Рамануджаном в 1915 году. Однако Жан-Пьер Кахане[en] рассматривал их раньше, и, возможно, они были известны уже Платону, который описал число 5040 как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число.[1]

Примеры[править | править код]

В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа (последовательность A002182 в OEIS).

номер Сверхсоставное разложение

на простые

число

делителей

разложение на

праймориалы

1 1 1
2 2 2
3 4 3
4 6 4
5 12 6
6 24 8
7 36 9
8 48 10
9 60 12
10 120 16
11 180 18
12 240 20
13 360 24
14 720 30
15 840 32
16 1260 36
17 1680 40
18 2520 48
19 5040 60
20 7560 64
21 10080 72
22 15120 80
23 20160 84
24 25200 90
25 27720 96
26 45360 100
27 50400 108
28 55440 120
29 83160 128
30 110880 144
31 166320 160
32 221760 168
33 277200 180
34 332640 192
35 498960 200
36 554400 216
37 665280 224
38 720720 240

Разложение на простые[править | править код]

В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.

По основной теореме арифметики каждое натуральное число имеет единственное разложение на простые:

где простые, и степени положительные целые числа. Число делителей числа можно выразить следующим образом:

Таким образом, для сверхсоставного числа выполняется следующее

  • Числа являются первыми простыми числами.
  • Последовательность степеней должна быть невозрастающей, то есть .
    • Это свойство равносильно тому, что сверхсоставное число является произведением праймориалов.
  • За исключением двух особых случаев n = 4 И N = 36, последняя степень равна единице.

В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.

Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными. Например, 96 = 25 × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.

Асимптотический рост и плотность[править | править код]

Существуют постоянные a и b, обе больше, чем 1, такие, что

Где обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных .

Первая часть неравенства была доказана Палом Эрдешем в 1944 году; вторую доказал Жан-Луи Николас[en] в 1988 году.

Известно также, что

и

Свойства[править | править код]

  • Не все сверхсоставные числа являются числами харшад по основанию 10;
    • первый контрпример это 245 044 800, это число имеет сумму цифр 27, но на 27 не делится.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Kahane, Jean-Pierre (February 2015), "Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre", Notices of the American Mathematical Society Т. 62 (2): 136–140 .

Ссылки[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]