Свободная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Граф Кэли свободной группы образованной двумя элементами a и b

Свобо́дная гру́ппа в теории групп — группа , для которой существует подмножество такое, что каждый элемент записывается единственным образом как произведение конечного числа элементов и их обратных. (Единственность понимается с точностью до тривиальных комбинаций наподобие .) Говорят, что (свободно) порождена и пишут: или если есть множество из элементов.

Близкое, но отличное понятие: свободная абелева группа (которая не является, вообще говоря, свободной группой).

Конструктивное определение[править | править вики-текст]

Возможно предъявить явную конструкцию свободных групп, доказав тем самым их существование[1][2]. Будем считать элементы множества «символами» и для каждого символа из введём символ ; множество последних обозначим . Пусть

.

Определим слово над как конечную цепочку (возможно, повторяющихся) символов из , записанных друг за другом. Вместе с операцией конкатенации (склейки, приписывания) множество слов над становится полугруппой. Будем считать, что во множестве слов имеется пустое слово , которое не содержит символов. Таким образом получается моноид слов над

Например, для . , два слова:

,

и их конкатенация:

.

Например, .

Далее вводится правило редукции слов. Если в некотором слове за символом (символу) из следует (предшествует) соответствующий ему символ из то удаление этой пары символов назовём редукцией. Слово называется редуцированным, если в нём больше нельзя провести редукцию. Полной редукцией называется последовательное применение редукции к данном слову до тех пор, пока оно не станет редуцированным. Например, из слова (см. пример выше) после полной редукции получается редуцированное слово:

Свободной группой , порождённой множеством (или свободной группой над ) называется группа редуцированных слов над с операцией конкатенации (за которой следует полная редукция результата при необходимости).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны. При этом мощность множества, порождающего данную свободную группу, называется её рангом.
  • Свободная группа изоморфна свободному произведению копий .
  • Теорема Нильсена — Шрайера: любая подгруппа свободной группы свободна.
  • Любая группа есть факторгруппа некоторой свободной группы по некоторой её подгруппе H. За могут быть взяты образующие . Тогда существует естественный эпиморфизм . Ядро H этого эпиморфизма является множеством соотношений задания .
  • Коммутант свободной группы конечного ранга имеет бесконечный ранг. Например, коммутант порождённой двумя элементами свободной группы  — это свободная группа, порождённая всеми коммутаторами .

Универсальное свойство[править | править вики-текст]

Свободная группа  — это в некотором смысле наиболее общая группа, порождённая множеством А именно, для любой группы и любого отображения множеств существует единственный гомоморфизм групп для которого следующая диаграмма коммутативна:

Free Group Universal.svg

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множествами отображений и гомоморфизмов . Для несвободной группы соотношения в группе накладывали бы ограничения на возможные образы образующих элементов группы.

Это свойство можно принять за определение свободной группы[3], при этом она определена лишь с точностью до изоморфизма, как и любой универсальный объект. Это свойство называется универсальностью свободных групп. Порождающее множество называется базисом группы . Одна и та же свободная группа может иметь разные базисы.

С точки зрения теории категорий свободная группа — это функтор из категории множеств в категорию групп , являющийся левым сопряжённым для забывающего функтора .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М.: Мир, 1980. — С. 13.
  2. Гл. 5, § 14 // Основы теории групп / Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. — 3-е изд. — М.: Наука, 1982. — 288 с.
  3. Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

Литература[править | править вики-текст]

  • Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А.  Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.