Свободная частица
Свобо́дная части́ца — термин, используемый в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами и имеют только кинетическую энергию.
Совокупность свободных частиц образует идеальный газ.
Несмотря на простоту определения, в физике понятие свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнения движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частиц.
Классическая механика
[править | править код]В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость, соответственно, сохраняется также импульс. Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами
- , где — масса частицы, — её скорость, в нерелятивистском случае.
- , где — скорость света, в релятивистском случае.
Нерелятивистская квантовая механика
[править | править код]Квантовые частицы описываются уравнением Шрёдингера
- ,
где — волновая функция рассматриваемой частицы, — редуцированная постоянная Планка, — время.
Решения этого уравнения даются суперпозицией волновых функций, которые имеют вид
- ,
где — радиус-вектор, — мнимая единица,
- ,
любое комплексное число (размерности м-3/2).
Волновой вектор является для свободной квантовомеханической частицы единственным квантовым числом.
Свободная квантовая частица может находиться в состоянии со строго определённым волновым вектором. Тогда её импульс тоже строго определен и равняется . В таком случае энергия частицы тоже определённая и равняется . Однако квантовая частица может находиться также в смешанном состоянии, в котором ни импульс, ни энергия не определены.
Свободная частица в криволинейных координатах
[править | править код]Гамильтониан свободной частицы
пропорционален оператору Лапласа, который в криволинейных координатах, а также на произвольном римановом многообразии имеет вид[1]
- .
Таким образом, гамильтониан свободной частицы в криволинейных координатах имеет вид:[2]
- .
Классическая функция Гамильтона имеет вид
- .
В данном случае возникает нетривиальная задача упорядочивания, которая может быть решена лишь локально[3]
- .
Релятивистская квантовая частица
[править | править код]Релятивистские квантовые частицы описываются разными уравнениями движения, в зависимости от типа частиц.
Для электронов и их античастиц позитронов справедливо уравнение Дирака. В состоянии с определённым значением импульса энергия частиц равняется
- ,
где знак "+" соответствует электрону, а "-" соответствует позитрону. Для релятивистского электрона появляется также дополнительное квантовое число — спин.
Другие частицы описываются своими специфическими уравнениями, например, бесспиновая частица описывается уравнением Клейна — Гордона.
Примечание
[править | править код]- ↑ Оператор Лапласа на римановом многообразии называют оператором Лапласа — Бельтрами.
- ↑ Флюгге, 2008, с. 36.
- ↑ Тахтаджян, 2011, с. 146.
Литература
[править | править код]- Флюгге З. Задачи по квантовой механике / Перевод с английского под редакцией А.А. Соколова. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. — 344 с.
- Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.
Для улучшения этой статьи желательно:
|