Свёртка тензора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности в тензор валентности . В координатах она записывается следующим образом:

где применено правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся разновариантным (верхнему и нижнему) индексам, т.е. в данном случае по .

Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров, или, короче, производят свёртку двух или нескольких тензоров.

Например, есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B, то есть, в обычной матричной записи, записывая индексы внизу и не опуская знак суммы, это

.

В принципе свёртка всегда проводится по верхнему и нижнему индексам, однако в случае если задан метрический тензор, ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга (поднимать и опускать), поэтому свёртку можно вести по любой паре индексов, используя метрический тензор, если оба индекса верхние или нижние. Например:

Замечание: операция свёртки определена и имеет смысл не только для тензорных объектов. Во всяком случае, в компонентах совершенно та же операция применяется для свертки с матрицами преобразования координат (матрицами Якоби) и с компонентами аффинной связности, не являющимися представлениями тензоров. Эти свёртки имеют так же ясный геометрический смысл и играют важную роль в тензорном анализе, к тому же используются для построения представления настоящих тензорных объектов, таких как тензор кривизны.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.
  • Свёртка вектора v с тензором A ранга (1,1) представляет умножение вектора на линейный оператор, каковым такой тензор является по отношению к вектору.
  • Свёртка векторов a и b с тензором B ранга (0,2) является билинейной формой; так свёртка двух векторов с метрическим тензором дает их скалярное произведение.
  • В том числе - квадратичная форма; именно таким образом свертка с метрическим тензором дает квадрат нормы вектора.
  • Свёртка ковариантного и контравариантного вектора дает действие 1-формы на вектор, или, если считать ковариантные компоненты просто дуальным представлением настоящего вектора, то это скалярное произведение двух векторов, один из которых представлен в дуальном базисе.
  • Свёртка тензора A ранга (1,1) (с собой) является следом матрицы . Это простейший случай построения (скалярного) инварианта из тензора.
  • Действие линейного оператора на пространстве тензоров некоторого определенного ранга есть свёртка с тензором вдвое большего ранга, столько же раз ковариантного, сколько контравариантного, например (в координатной записи):

Свойства[править | править вики-текст]

  • Свёртка (корректная) одного или нескольких тензоров (в том числе векторов и скаляров) всегда дает тензор (в том числе, возможно, вектор или скаляр).