Свёртка (математический анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе.

По определению, свёртка — это математическая операция, применённая к двум функциям f и g, порождающая третью функцию, которая иногда может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования.

Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер.

Операцию свертки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Также свёртка может быть описана как вес одной функции в случае, если другая функция, будучи отраженной и сдвинутой, является весовой.

Если объяснять смысл свёртки простыми словами, то, когда функцию сворачивают с функцией , фактически происходит суммирование множества взвешенных на значения смещённых копий функции . Другими словами, свёртку можно представить как:, где выступает в роли источника весов, для каждой из смещённых вдоль оси Х функции .

Свёртка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.
Свёртка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Определение свёртки функций[править | править код]

Пусть  — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве . Тогда их свёрткой называется функция , определенная формулой

 

В частности, при формула принимает вид:

 

Свёртка определена при почти всех и интегрируема.

В случае, когда , а функции определены на промежутке (то есть, значение функций считается равным нулю при отрицательном аргументе), свёртку записывают в виде:

 

Впервые интегралы, представляющие собой свёртку двух функций, встречаются в трудах Леонарда Эйлера (1760-е годы); позднее свёртка появляется у Лапласа, Лакруа, Фурье, Коши, Пуассона и других математиков. Обозначение свёртки функций при помощи звёздочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже)[1].

Свойства[править | править код]

.
.
.
  • Правило дифференцирования:
,

где обозначает производную функции по любой переменной.

,

где обозначает преобразование Фурье функции .

Объяснение на примере[править | править код]

График-гистограмма осадков
График функции — количество выпавшего снега в килограммах на начало часа.
а будем рассматривать конечную сумму вида:

Пусть перед нами стоит задача вычислить, как будет изменяться количество снега на каком-либо участке земли в зависимости от времени. Решение этой сложной задачи состоит из двух этапов:

  1. Построить модель выпадения снега и модель таяния снега.
  2. Каким-то образом соединить эти две модели в одну Задачи первого этапа решаются путём наблюдений и опытов, а задачи второго этапа — свёрткой, получившихся на 1-ом этапе моделей.
    Простой график одной ветви гиперболы.
    График зависимости количества нерастаявшего снега от времени прошедшего с момента его выпадения.

Предположим, что в результате решения задачи на 1-ом этапе, мы построили две зависимости (математические модели):

  • Количество выпавшего снега в зависимости от времени: (график справа)
  • Долю нерастаявшего снега через время после его выпадения: (график справа)

Второй этап самый сложный, ведь понятно, что если бы к выпавшему изначально и начавшему таять снегу не добавлялся новый, который также начинает таять, то задача свелась бы к элементарной — просто посчитать количество осадков всех выпавших осадков — , путём сложения в дискретном случае:

или путём интегрирования в случае непрерывном:

После получения общего количества снега можно было бы умножить это число на функцию , дабы смоделировать поведение всего снега сразу:

Но жизни всё сложнее, а именно: пока один снег только выпадает, другой уже мог наполовину растаять! Другими словами, от того килограмма снега, который выпал минуту назад, уже может остаться только 50%, а с небес уже пришёл новый "свежий" килограмм снега, и т.д. Получается, что нужно каким-то образом «сложить» для каждой кучки снега построить свою модель растаивания и как-то сложить все эти модели вместе.

Как раз для этих целей и можно использовать понятие математической «свёртки». Прежде чем делать свёртку, следует привести обе функции к одному аргументу, ибо и своими аргументами имеют физически различное время. Так «красное время» в говорит о времени выпадения снега, а «синее время» в вообще является временем прошедшим с момента выпадения некой кучи снега, или , где — некий интервал времени на шкале «красных часов». Для того, чтобы можно было говорить об «одинаковом времени» для обеих функций, выразим время суток через переменную , тогда , как и прежде будет значить количество снега, выпавшее в момент . Так же добавим в задачу параметр (время суток, на которое нам надо узнать состояние выпавшего в часов снега). Так, например, к четырём часам ночи выпавший в снег уже пролежал на улице два с половиной часа или . Из этого примера видно, что теперь аргументом для функции у нас станет или В итоге мы имеем:

  • —объём выпавшего в часов снега.
  • — доля нерастаявшего снега.
  • — время выпадения снега.
  • — время на которое нам нужно узнать состояние выпавшего в снега.
  • — количество времени прошедшее с момента выпадения и момента расчёта оставшейся доли снега.

Рассмотрим пример использования этих функций-моделей. Так, чтобы на четыре часа ночи узнать состояние снега, который выпал ровно в полвторого ночи, т.е. , нужно вычислить, т. е. на четыре часа ночи от того снега, что выпал в 01:30, осталось 70%. Отсюда должно быть ясно, что используя и перебирая разные значения можно узнать состояние снега на четыре часа ночи, но выпавшего в любой момент . Так моделирует состояние снега, выпавшего во время , к моменту времени , а по условию задачи нам нужно знать состояние всего снега (т.е. для всех значений ), на любой момент времени (т.е. и на момент и в и и т.д.).

Из сказанного должно быть очевидно, что нужно каким-то образом сложить множество моделей в одну функцию. Для этого, состояние выпавшего в три часа ночи снега , будем моделировать функцией: . Поведение снега, выпавшего в ночи, опишем через и т.д. Если мы сложим эти функции-модели, то получится функция .

Графически функция изображена ниже, где разными цветами представлены вклады каждой кучи снега из графика .

График свёртки количества выпавшего снега и закона растаивания.
График функции , где разным цветом представлен вклад каждой кучи снега (Цвет вклада соответствуют цветам выпавшего снега на графике (см. выше))

полностью моделирует поведения выпавшего согласно модели снега, так на графике выше видно, что общее количество снега увеличивается тремя резкими скачками, но каждый раз снег сразу начинает таять, не дожидаясь выпадения других осадков. Конечно, мы рассмотрели дискретный случай выпадения осадков, для целей моделирования более приближенного к реальности следует использовать непрерывный вариант данной задачи, где вместо дискретной суммы и дискретной модели выпадения осадков (количество выпавшего снега), следует использовать интеграл и непрерывную модель (скорость выпадения снега). Тогда решением непрерывной задачи будет интеграл:

Свёртка на группах[править | править код]

Пусть  — группа Ли, оснащённая мерой Хаара , и  — две функции, определённые на . Тогда их свёрткой называется функция

.

Свёртка мер[править | править код]

Пусть есть борелевское пространство и две меры . Тогда их свёрткой называется мера

,

где обозначает произведение мер и .

Свойства[править | править код]

.

Тогда также абсолютно непрерывна относительно , и её производная Радона — Никодима имеет вид

.
  • Если  — вероятностные меры, то также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений[править | править код]

Если  — распределения двух независимых случайных величин и , то

,

где  — распределение суммы . В частности, если абсолютно непрерывны и имеют плотности , то случайная величина также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Domínguez A.  A History of the Convolution Operation // IEEE Pulse. — 2015. — Vol. 6, no. 1. — P. 38—49.

Литература[править | править код]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
  • Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.

Ссылки[править | править код]