Свёртка (математический анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе, которая при применении к двум функциям и , возвращает третью функцию, соответствующую взаимнокорреляционной функции и . Операцию свертки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на произвольных измеримых пространствах и может рассматриваться как особый вид интегрального преобразования. В дискретном случае свёртка соответствует сумме значений с коэффициентами, соответствующими смещённым значениям , то есть,

Свёртка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.
Свёртка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Определение свёртки функций[править | править код]

Пусть  — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве . Тогда их свёрткой называется функция , определенная формулой

В частности, при формула принимает вид

Свёртка определена при почти всех и интегрируема.

В случае, когда , а функции определены на промежутке свёртку можно записать в виде

Впервые интегралы, представляющие собой свёртку двух функций, встречаются в трудах Леонарда Эйлера (1760-е годы); позднее свёртка появляется у Лапласа, Лакруа, Фурье, Коши, Пуассона и других математиков. Обозначение свёртки функций при помощи звёздочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже)[1].

Свойства[править | править код]

.
.
.
  • Правило дифференцирования:
,

где обозначает производную функции по любой переменной.

,

где обозначает преобразование Фурье функции.

Объяснение на примере[править | править код]

График-гистограмма осадков
График функции — количество выпавшего снега в килограммах на начало часа.

Пусть стоит задача вычислить, как будет изменяться количество снега на каком-либо участке земли в зависимости от времени. Решение этой задачи можно разделить на два этапа:

  1. Построить модель выпадения снега и модель таяния снега.
  2. Каким-то образом соединить эти две модели в одну.
    Простой график одной ветви гиперболы.
    График зависимости количества нерастаявшего снега от времени прошедшего с момента его выпадения.

Задачи первого этапа решаются путём наблюдений и опытов, а задачи второго этапа — свёрткой получившихся на 1-ом этапе моделей.

Пусть в результате решения задачи на 1-ом этапе, было построено две зависимости (математические модели):

  • Зависимость количества выпавшего снега от текущего времени ,
  • Зависимость доли нерастаявшего снега от времени, прошедшего с момента его выпадения .

Если бы снег не начинал таять, количество всех выпавших осадков  можно было бы посчитать путём сложения в дискретном случае:

или путём интегрирования в случае непрерывном:

Но в данном случае таяние снега имеет место и, более того, оно зависит не только от текущего общего количества снега, но и от того, в какой момент времени выпал каждый отдельный блок снега. Получается, что нужно для каждой кучки снега построить свою модель растаивания и как-то сложить все эти модели вместе.

Для этих целей и можно использовать понятие математической «свёртки». Пусть в момент времени рассматривается снег, который выпал в момент времени , тогда

  • —объём выпавшего в момент снега.
  •  — доля нерастаявшего снега.
  •  — время выпадения снега.
  •  — время на которое нам нужно узнать состояние выпавшего в снега.
  •  — количество времени прошедшее с момента выпадения до момента расчёта оставшейся доли снега.

Нужно сложить множество моделей в одну функцию. Если это сделать, получится сумма в дискретном случае:

или интеграл в непрерывном:

Графически функция изображена ниже, где разными цветами представлены вклады каждой кучи снега из графика .

График свёртки количества выпавшего снега и закона растаивания.
График функции , где разным цветом представлен вклад каждой кучи снега (Цвет вклада соответствуют цветам выпавшего снега на графике )

полностью моделирует поведение выпавшего согласно модели снега, так на графике выше видно, что общее количество снега увеличивается тремя скачками, но снег начинает таять сразу, не дожидаясь выпадения других осадков.

Свёртка на группах[править | править код]

Пусть  — группа, оснащённая мерой , и  — две функции, определённые на . Тогда их свёрткой называется функция[источник не указан 43 дня]

.

Свёртка мер[править | править код]

Пусть есть борелевское пространство и две меры . Тогда их свёрткой называется мера[источник не указан 43 дня]

,

где обозначает произведение мер и .

Свойства[править | править код]

.

Тогда также абсолютно непрерывна относительно , и её производная Радона — Никодима имеет вид[источник не указан 43 дня]

.
  • Если  — вероятностные меры, то также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений[править | править код]

Если  — распределения двух независимых случайных величин и , то[источник не указан 43 дня]

,

где  — распределение суммы . В частности, если абсолютно непрерывны и имеют плотности , то случайная величина также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Domínguez A.  A History of the Convolution Operation // IEEE Pulse. — 2015. — Vol. 6, no. 1. — P. 38—49.

Литература[править | править код]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
  • Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.
  • Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. — М., Наука, 1982. — Тираж 3500 экз. — 240 с.

Ссылки[править | править код]