Свёртка (математический анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе.

По определению, свёртка — это математическая операция, применённая к двум функциям f и g, порождающая третью функцию, которая иногда может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования.

Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер.

Операцию свертки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Также, свёртка может быть описана как вес одной функции в случае, если другая функция, будучи отраженной и сдвинутой, является весовой.

Свёртка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.
Свёртка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Определение свёртки функций[править | править вики-текст]

Пусть  — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве . Тогда их свёрткой называется функция , определенная формулой

 

В частности, при формула принимает вид:

 

Свёртка определена при почти всех и интегрируема.

В случае, когда , а функции определены на промежутке (то есть, значение функций считается равным нулю при отрицательном аргументе), свёртку записывают в виде:

 

Впервые интегралы, представляющие собой свёртку двух функций, встречаются в трудах Леонарда Эйлера (1760-е годы); позднее свёртка появляется у Лапласа, Лакруа, Фурье, Коши, Пуассона и других математиков. Обозначение свёртки функций при помощи звёздочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже)[1].

Свойства[править | править вики-текст]

.
.
.
  • Правило дифференцирования:
,

где обозначает производную функции по любой переменной.

,

где обозначает преобразование Фурье функции .

Свёртка на группах[править | править вики-текст]

Пусть  — группа Ли, оснащённая мерой Хаара , и  — две функции, определённые на . Тогда их свёрткой называется функция

.

Свёртка мер[править | править вики-текст]

Пусть есть борелевское пространство и две меры . Тогда их свёрткой называется мера

,

где обозначает произведение мер и .

Свойства[править | править вики-текст]

.

Тогда также абсолютно непрерывна относительно , и её производная Радона — Никодима имеет вид

.
  • Если  — вероятностные меры, то также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений[править | править вики-текст]

Если  — распределения двух независимых случайных величин и , то

,

где  — распределение суммы . В частности, если абсолютно непрерывны и имеют плотности , то случайная величина также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Domínguez A.  A History of the Convolution Operation // IEEE Pulse. — 2015. — Vol. 6, no. 1. — P. 38—49.

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
  • Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.

Ссылки[править | править вики-текст]