Свёртка (математический анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе.

По определению, свёртка — это математическая операция, применённая к двум функциям f и g, порождающая третью функцию, которая иногда может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования.

Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер.

Операцию свертки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Также свёртка может быть описана как вес одной функции в случае, если другая функция, будучи отраженной и сдвинутой, является весовой.

Если объяснять смысл свёртки простыми словами, то, когда функцию сворачивают с функцией , фактически происходит суммирование множества взвешенных на значения смещённых копий функции . Другими словами, свёртку можно представить как:, где выступает в роли источника весов, для каждой из смещённых вдоль оси Х функции .

Свёртка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.
Свёртка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Определение свёртки функций[править | править код]

Пусть  — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве . Тогда их свёрткой называется функция , определенная формулой

 

В частности, при формула принимает вид:

 

Свёртка определена при почти всех и интегрируема.

В случае, когда , а функции определены на промежутке (то есть, значение функций считается равным нулю при отрицательном аргументе), свёртку записывают в виде:

 

Впервые интегралы, представляющие собой свёртку двух функций, встречаются в трудах Леонарда Эйлера (1760-е годы); позднее свёртка появляется у Лапласа, Лакруа, Фурье, Коши, Пуассона и других математиков. Обозначение свёртки функций при помощи звёздочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже)[1].

Свойства[править | править код]

.
.
.
  • Правило дифференцирования:
,

где обозначает производную функции по любой переменной.

,

где обозначает преобразование Фурье функции .

Объяснение на примере[править | править код]

Пусть перед нами стоит задача разработать математическую модель того, как будет уменьшаться количество снега на каком-либо участке земли. Эта сложная задача состоит из двух частей:

  1. Построить модель выпадения снега на участок и модель таяния снега.
  2. Каким-то образом соединить эти две модели в одну.

Пункт 2 здесь самый сложный и важный, ведь понятно, что если бы снег не таял в момент выпадения, то задача была бы элементарной: просто посчитать количество осадков, получить число, например 1 тонна, и умножить это число на (функцию, которая описывает динамику таяния снега). То есть наша модель имела бы вид , где С- количество выпавшего снега.

Но в нашем случае всё сложнее, а именно: снег может таять в процессе выпадения. Другими словами, от того килограмма снега, который выпал минуту назад, уже может остаться только 50%, а с небес уже пришёл новый "свежий" килограмм снега, и т.д.

Для решения данной задачи предположим, что функция моделирует количество выпавшего снега. До трёх часов ночи () осадков не было. Ровно в 3 часа начался снегопад, в первые секунды после начала осадков выпал один килограмм снега, т.е. , в полчетвёртого () выпало только полкило снега и т.д. В 4 часа ночи () снегопад закончился и больше снег не выпадал, т.е. .

Модель выпадения снега..png

Пусть далее функция моделирует скорость таяния одного килограмма снега. Например, сразу после выпадения 1-ого килограмма, т.е. в момент времени , он в целости и сохранности, т.е. (или 100% выпавшего снега не растаяло, ибо он только что выпал и ещё не успел нагреться), а уже через час (в момент времени ) от первоначального килограмма осталось лишь или 36%.

Моделирование таяния снега.png

Для того, чтобы можно было говорить об "одинаковом времени" для обеих функций, выразим их через переменную , , как и прежде будет значить количество снега, выпавшее в момент . В то же время функция не может так просто принять время суток в качестве аргумента, ибо, как задано выше, функция принимает в качестве аргумента количество прошедшего времени с момента выпадения снега, а не значение стрелки часов на циферблате, что собой представляет .

Другими словами, с логической точки зрения может быть равным какому-нибудь отрезку , но не самому . Эту проблему можно исправить, если в задачу добавить параметр (время суток, на которое нам надо узнать состояние выпавшего в часов снега). Так, например, к четырём часам ночи выпавший в снег уже пролежал на улице два с половиной часа или . Из этого примера видно, что теперь аргументом для функции у нас станет или

В итоге мы имеем:

  • - объём выпавшего в часов снега.
  • - доля нерастаявшего снега.
  • - время выпадения снега.
  • - время на которое нам нужно узнать состояние выпавшего в снега.
  • - количество времени прошедшее с момента выпадения и момента расчёта оставшейся доли снега.

Рассмотрим пример использования этих функций-моделей. Так, чтобы на четыре часа ночи узнать состояние снега, который выпал ровно в полвторого ночи, т.е. , нужно вычислить, т. е. на четыре часа ночи от того снега, что выпал в 01:30, осталось 7%. Отсюда должно быть ясно, что используя и перебирая разные значения можно узнать состояние снега на четыре часа ночи, но выпавшего в любой момент .

Так моделирует состояние снега, выпавшего во время , на два часа ночи , а по условию задачи нам нужно знать состояние всего снега (т.е. для всех значений ), на любой момент времени (т.е. и на момент и в и и т.д.). Из сказанного должно быть очевидно, что нужно каким-то образом сложить множество моделей в одну функцию.

Попробуем составить такую сумму. Рассмотрим для простоты лишь три момента выпадения снега, для этого представим функцию . Мы знаем, что согласно этих моментов было бесконечно много с 3 до 4 часов ночи, но для простоты выберем только тот снег, что выпал в , и часа ночи.

График выпадения снега только в трёх изолированных моментах времени
Функция , которая моделирует выпадение снега только в трёх изолированных моментах времени.

Так, согласно графику , в выпало к кг снега, в выпало кг снега, в выпало кг. Мы уже знаем, что если моделировать поведение этих трёх моментов в отдельности, то каждый "кусок" выпавшего снега будет вести себя согласно . Значит, выпавший в три часа ночи снег , будем моделировать такой функцией: . Снег опишем через и т.д.

Если мы сложим эти функции-модели, то получится функция . Графически функция изображена ниже, где разными цветами представлены вклады каждой кучи снега из графика .

График функции , где разным цветом представлен вклад каждой кучи снега в общей модели поведения

полностью моделирует поведения выпавшего согласно модели снега, так на графике выше видно, что общее количество снега увеличивается тремя резкими скачками, но каждый раз снег сразу начинает таять, не дожидаясь выпадения других осадков.

Конечно, по условиям задачи наc не устроит знание поведения лишь того снега, что выпал в 3 и 3.5 и 4.5 часа ночи, но если мы вместо конечного суммирования

проинтегрируем нашу модель, то получим свёртку:

результатом этой свёртки будет функция , но т.к. мы складывали множество постоянно идущих друг за другом осадков, то таких скачков как в мы не наблюдаем.

Свёртка на группах[править | править код]

Пусть  — группа Ли, оснащённая мерой Хаара , и  — две функции, определённые на . Тогда их свёрткой называется функция

.

Свёртка мер[править | править код]

Пусть есть борелевское пространство и две меры . Тогда их свёрткой называется мера

,

где обозначает произведение мер и .

Свойства[править | править код]

.

Тогда также абсолютно непрерывна относительно , и её производная Радона — Никодима имеет вид

.
  • Если  — вероятностные меры, то также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений[править | править код]

Если  — распределения двух независимых случайных величин и , то

,

где  — распределение суммы . В частности, если абсолютно непрерывны и имеют плотности , то случайная величина также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Domínguez A.  A History of the Convolution Operation // IEEE Pulse. — 2015. — Vol. 6, no. 1. — P. 38—49.

Литература[править | править код]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
  • Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.

Ссылки[править | править код]