Свёртка (математический анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. В математике, свёртка — это математическая операция двух функций f и g, порождающая третью функцию, которая обычно может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования.

Свертка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.
Свертка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Свёртка функций[править | править исходный текст]

Пусть f,g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R} — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве \mathbb{R}^d. Тогда их свёрткой называется функция f * g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}, определенная формулой

(f * g)(x)\ \ \,   \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{\mathbf{R}^d} f(y)\, g(x-y)\, dy =
\int \limits_{\mathbf{R}^d} f(x-y)\, g(y)\, dy.

В частности, при \,d=1 формула принимает вид:

(f * g)(x)\ \ \,   \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(y)\, g(x-y)\, dy = 
\int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x-y)\, g(y)\, dy.

Свёртка \,(f * g)(x) определена при почти всех x \in {\mathbf{R}^d} и интегрируема.

Свойства[править | править исходный текст]

\, f * g = g * f .
\, f  * (g  * h) = (f  * g)  * h.
\, (f_1+f_2) * g =  f_1 * g + f_2 * g,\quad
\, f * (g_1+g_2) =  f * g_1 + f * g_2,\quad
\, (a f) * g = a (f*g) = f * (ag), \quad \forall a \in \mathbb{R}.
  • Правило дифференцирования:
\, \mathrm{D}(f  * g) = \mathrm{D}f  * g = f  * \mathrm{D}g,

где \mathrm{D}f обозначает производную функции f по любой переменной.

\, \mathfrak{F}[f  * g] = \mathfrak{F} [f] \cdot \mathfrak{F} [g],

где  \mathfrak{F}[f] обозначает преобразование Фурье функции f.

Свёртка на группах[править | править исходный текст]

Пусть G — группа Ли, оснащённая мерой Хаара m, и f,g:G \to \mathbb{R} — две функции, определённые на G. Тогда их свёрткой называется функция

f  * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G.

Свёртка мер[править | править исходный текст]

Пусть есть борелевское пространство (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) и две меры \mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}. Тогда их свёрткой называется мера

\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),

где \mu \otimes \nu обозначает произведение мер \mu и \nu.

Свойства[править | править исходный текст]

f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}.

Тогда \mu * \nu также абсолютно непрерывна относительно m, и её производная Радона — Никодима f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm} имеет вид

f_{\mu * \nu} = f_{\mu} * f_{\nu}.

Свёртка распределений[править | править исходный текст]

Если \mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y — распределения двух независимых случайных величин X и Y, то

\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y,

где \mathbb{P}^{X+Y} — распределение суммы X+Y. В частности, если X,Y абсолютно непрерывны и имеют плотности f_X,f_Y, то случайная величина X+Y также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

f_{X+Y} = f_X  * f_Y.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
  • Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.

Ссылки[править | править исходный текст]