Седлоузловая бифуркация

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории динамических систем, седлоузловая бифуркация — локальная бифуркация, при которой пара особых точек (устойчивая и неустойчивая) сливаются в полуустойчивую особую точку (седлоузел), затем исчезающую. Единственная бифуркация, которая встречается в типичных однопараметрических семействах векторных полей на прямой неустранимым образом (т.е. является типичной бифуркацией коразмерности 1).

Нормальная форма[править | править вики-текст]

Седлоузловая бифуркация

Рассмотрим векторное поле на прямой, имеющее особую точку. Если особая точка невырождена (производная векторного поля в ней отлична от 0), по теореме о неявной функции, она сохраняется при малых возмущениях, и бифуркации не происходит. Таким образом, простейший случай, интересный с точки зрения теории бифуркаций: первая производная равна нулю. В типичном случае, вторая производная ненулевая. Раскладывая векторное поле в ряд Тейлора и меняя при необходимости систему координат, можно считать, что коэффициент при x^2 равен -1. В этом случае векторное поле имеет вид:

\dot x=-x^2+o(x^2).\quad\quad(1)

Поскольку особая точка вырождена, векторное поле (1) не является структурно устойчивым: сколь угодно малым возмущением можно уничтожить особую точку или «развалить» её на две. Оказывается, любое невырожденное малое возмущение этого векторного поля в окрестности особой точки 0 (топологически) эквивалентно однопараметрическому семейству

\dot x=\varepsilon-x^2\quad\quad(2)

Иными словами, это семейство будет версальной деформацией для уравнения (1). Семейство (2) является нормальной формой седлоузловой бифуркации.

Сценарий бифуркации[править | править вики-текст]

Рассмотрим семейство (2). Возможно три случая:

  • При \varepsilon>0 векторное поле имеет две особые точки: x=\pm\sqrt{\varepsilon}. Одна из них (x=+\sqrt{\varepsilon}) является устойчивой, другая (x=-\sqrt{\varepsilon}) — неустойчивой.
  • При \varepsilon=0 векторное поле имеет единственную полуустойчивую негиперболическую особую точку 0.
  • При \varepsilon<0 векторное поле не имеет особых точек.

Таким образом, седлоузловая бифуркация может быть описана как процесс рождения полуустойчивой особой точки и последующего её распадения на устойчивую и неустойчивую, или наоборот — как процесс слияния устойчивой и неустойчивой особой точки в полуустойчивую с последующим её исчезновением.

Седлоузловая бифуркация на плоскости: \alpha=\varepsilon}

Если рассматривать двумерное фазовое пространство и к уравнению (2) добавить уравнение \dot y=-y, при \varepsilon>0, особая точка (\sqrt{\varepsilon},0) будет устойчивым узлом, а особая точка (-\sqrt{\varepsilon},0)седлом. Сливаясь при \varepsilon=0, они образуют особую точку с одним нулевым и одним ненулевым собственным значением, то есть седлоузел. Это и объясняет название бифуркации.

Литература[править | править вики-текст]

  • Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5.