Сепарабельное расширение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сепара́бельное расширение — алгебраическое расширение поля , состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов , минимальный аннулятор над для которых не имеет кратных корней. Производная должна быть в этой связи ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики .

Для конечных расширений имеет место следующее утверждение: если , где  — алгебраическое замыкание поля , то сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов поля в алгебраическое замыкание над равно степени . В случае несепарабельных расширений это число является делителем и называется сепарабельной степенью (частное равно некоторой степени характеристики).

Свойства сепарабельных расширений[править | править вики-текст]

Если расширения и сепарабельны, то и расширение сепарабельно. Обратно, если сепарабельно, то и и сепарабельны.

Если расширение сепарабельно, то для любого расширения (если и содержатся в каком-нибудь поле) композит полей[en] является сепарабельным расширением .

Теорема о примитивном элементе: если , где алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над , а  — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент (называемый примитивным элементом), что .

Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширения[править | править вики-текст]

Расширение называется линейно свободным от , если любое конечное множество элементов линейно независимое над остаётся линейно независимым и над . Данное определение симметрично: если линейно свободно от над , то и наоборот, линейно свободно от над .

Расширение (не обязательно алгебраическое) над полем называется сепарабельным, если оно для некоторого натурального линейно свободно от расширения  — порождённого присоединением всех корней степени из элементов . Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. От выбора числа данное определение не зависит и равносильно линейной свободе от  — композита всех (критерий Маклейна).

Литература[править | править вики-текст]