Сепарабельное расширение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сепара́бельное расширение — алгебраическое расширение поля E \supset  K, состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов \alpha, минимальный аннулятор f(x) над K для которых не имеет кратных корней. Производная f'(x) должна быть в этой связи ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики p.

Для конечных расширений имеет место следующее утверждение: если K \subset E \subset K^*, где K^* — алгебраическое замыкание поля K, то E сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов \sigma поля E в алгебраическое замыкание K^* над K равно степени [E:K]. В случае несепарабельных расширений это число является делителем [E:K] и называется сепарабельной степенью [E:K]_s (частное равно некоторой степени характеристики).

Свойства сепарабельных расширений[править | править вики-текст]

Если расширения E \supseteq K и F \supseteq E сепарабельны, то и расширение F \supseteq K сепарабельно. Обратно, если F \supseteq K сепарабельно, то и E \subseteq K и F \subseteq E сепарабельны.

Если расширение E \supseteq K сепарабельно, то для любого расширения F \supseteq K (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей[en] EF является сепарабельным расширением K.

Теорема о примитивном элементе: если E=K(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n), где \alpha_1 алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над K, а \alpha_2, \dots, \alpha_n — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент \theta (называемый примитивным элементом), что E=K(\theta).

Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширения[править | править вики-текст]

Расширение E \supseteq K называется линейно свободным от L \supseteq K, если любое конечное множество элементов E линейно независимое над K остаётся линейно независимым и над L. Данное определение симметрично: если E линейно свободно от L над K, то и наоборот, L линейно свободно от E над K.

Расширение (не обязательно алгебраическое) E над полем K называется сепарабельным, если оно для некоторого натурального m линейно свободно от расширения K^{p^{-m}} — порождённого присоединением всех корней степени p^m из элементов K. Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. От выбора числа m данное определение не зависит и равносильно линейной свободе E от K^{p^{-\infty}} — композита всех K^{p^{-m}} (критерий Маклейна).

Литература[править | править вики-текст]