Символ Лежандра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Символ Лежандра — функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А. М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который, в свою очередь, является частным случаем символа Кронекера — Якоби.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть a — целое число, и p — простое число, отличное от 2. Символ Лежандра определяется следующим образом:

  • , если a делится на p;
  • , если a является квадратичным вычетом по модулю p, то есть a не делится на p и существует такое целое x, что ;
  • , если a является квадратичным невычетом по модулю p, то есть a не делится на p и не является квадратичным вычетом по модулю p.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Мультипликативность: . В частности,
    • Eсли не делится на , то
    • Если каноническое разложение на простые сомножители, то
  • Если , то
  • Квадратичный закон взаимности: Пусть p и q — неравные нечетные простые числа, тогда
Если тогда
.
  • Среди чисел ровно половина имеет символ Лежандра, равный +1, а другая половина — равный −1.
  • формула Эйлера

Литература[править | править вики-текст]