Символ Лежандра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Символ Лежандра — функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А. М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который, в свою очередь, является частным случаем символа Кронекера — Якоби, который иногда называют символом Лежандра — Якоби — Кронекера.

Определение[править | править код]

Пусть a — целое число, и p — простое число, отличное от 2. Символ Лежандра определяется следующим образом:

  • , если a делится на p;
  • , если a является квадратичным вычетом по модулю p (то есть существует такое целое x, что ), но при этом a не делится на p;
  • , если a является квадратичным невычетом по модулю p.

Свойства[править | править код]

  • Мультипликативность: . Очевидными свойствами мультипликативности являются также следующие:
    • если не делится на , то
    • если каноническое разложение на простые множители, то
  • Если , то
  • Лемма Гаусса о квадратичных вычетах.
  • Критерий Эйлера:
  • Если , то:
(частный случай критерия Эйлера);
  • Квадратичный закон взаимности: Пусть p и q — неравные нечетные простые числа, тогда
  • Если , то
.
  • При среди чисел ровно половина имеет символ Лежандра, равный 1, а другая половина — равный −1.

Литература[править | править код]