Симметрическая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Граф Кэли симметрической группы S4
Таблица Кэли симметрической группы S3
(таблица умножения матриц перестановок)

Имеются следующие позиции шести матриц:
Symmetric group 3; Cayley table; positions.svg Таблица несимметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.

Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества (то есть биекций ) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества обычно обозначается , если , то также обозначается через . Поскольку для равномощных множеств () изоморфны и их группы перестановок (), потому для конечной группы порядка группу её перестановок отождествляют с .

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка .

Подгруппа симметрической группы называется группой перестановок (подстановок) [1].

Свойства[править | править код]

Каждая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы (теорема Кэли).

Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: . При симметрическая группа некоммутативна.

Симметрическая группа допускает следующее задание:

.

Можно считать, что переставляет и . Максимальный порядок элементов группы  — функция Ландау.

Группы разрешимы, при симметрическая группа является неразрешимой.

Симметрическая группа является совершенной (то отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае группа имеет ещё один внешний автоморфизм[en]. В силу этого и предыдущего свойства при все автоморфизмы являются внутренними, то есть каждый автоморфизм имеет вид для некоторого .

Число классов сопряжённых элементов симметрической группы равно числу разбиений числа [2]. Множество транспозиций является порождающим множеством . С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками , так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.

Центр симметрической группы тривиален при . Коммутантом является знакопеременная группа ; причём при  — единственная нетривиальная нормальная подгруппа , а имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.

Представления[править | править код]

Любая подгруппа группы перестановок представима группой матриц из , при этом каждой перестановке соответствует перестановчных матриц (матрица, у которой все элементы в ячейках равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка представляется следующей матрицей :

Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем, равным 1, изоморфна знакопеременной группе .

Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна , а группа вращений куба изоморфна .

Примечания[править | править код]

  1. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. — 561 с.
  2. последовательность A000041 в OEIS

Литература[править | править код]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал-Пресс, 2001.
  • Каргаполов М. И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, Физматлит, 1982.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — М. издательство=Физматлит, 2004.
  • Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, Физматлит, 1967.
  • Постников М. М. Теория Галуа. — М.: Физматлит, 1963.