Симметрическая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Граф Кэли симметрической группы S4
Таблица Кэли симметрической группы S3
(таблица умножения матриц перестановок)

Имеются следующие позиции шести матриц:
Symmetric group 3; Cayley table; positions.svg Как видно, таблица не симметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.

Симметрической группой множества называется группа всех перестановок (то есть биекций ) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества обычно обозначается . Если , то также обозначается через . Но если , то изоморфна , потому при конечном считают, что равно .

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка , определяемая как тождественное отображение:

для всех .

Связанные определения[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  • При симметрическая группа некоммутативна.
  • При симметрическая группа является неразрешимой (и напротив: при  — разрешимой).
  • В случае, если конечно, число элементов равно (факториал n), где  — число элементов . В частности,
  • Каждая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы (теорема Кэли).
  • Симметрическая группа допускает следующее задание:
(Можно считать, что переставляет и .)
  • Максимальный порядок элементов группы  — функция Ландау.
  • Центр симметрической группы тривиален при .
  • Симметрическая группа является совершенной (то есть группа её автоморфизмов совпадает с самой группой) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае группа имеет еще один внешний автоморфизм. В силу этого и предыдущего свойства при все автоморфизмы являются внутренними, то есть каждый автоморфизм имеет вид для некоторого .
  • Число классов сопряженных элементов симметрической группы равно числу разбиений числа n.[2].
  • Множество транспозиций является порождающим множеством . С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками , так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.
  • Знакопеременная группа является нормальной подгруппой . Причем при  — единственная нормальная подгруппа , а при имеет еще одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.

Представление симметрической группы в виде матричной[править | править вики-текст]

Любая подгруппа группы перестановок представима группой матриц из , при этом каждой перестановке соответствует матрица, у которой все элементы в ячейках равны 1, а прочие элементы равны нулю. Например, перестановка представляется следующей матрицей :

Такие матрицы называются перестановочными.

В частности, получаем, что знакопеременная группа  — это группа матриц, определитель которых равен 1. Существуют представления симметрических групп меньшей размерности.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — М.: "Факториал-Пресс", 2001.
  • Каргаполов М.И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, Физматлит, 1982.
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры.. — М.: Физматлит, 2004.
  • Курош А.Г. Теория групп. — М.: Наука, Физматлит, 1967.
  • Постников М.М. Теория Галуа. — М.: Физматлит, 1963.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. — 561 с.
  2. последовательность A000041 в OEIS