Симметрическая разность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Диаграмма Эйлера — Венна для симметрической разности

Симметрическая разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества A и B, их симметрическая разность есть объединение элементов A, не входящих в B, с элементами B не входящими в A. На письме для обозначения симметрической разности множеств A и B используется обозначение A \bigtriangleup B. так же, реже используется обозначение: A\,\dot{-}\,B.

Определение[править | править исходный текст]

Симметрическую разность можно ввести двумя способами:

  • симметрическая разность двух заданных множеств A и B — это такое множество A \bigtriangleup B, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:
A \bigtriangleup B = \left( A \setminus B \right) \cup \left ( B \setminus A \right).
  • симметрическая разность двух заданных множеств A и B — это такое множество A \bigtriangleup B, куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.
A \bigtriangleup B = \left(A \cup B\right) \setminus \left(A \cap B\right).

Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.

Свойства[править | править исходный текст]

A \bigtriangleup B = B\,\triangle\,A;
\left(A \bigtriangleup B \right)\,\triangle\,C = A \bigtriangleup \left(B\,\triangle\,C\right);
A \cap \left(B \bigtriangleup C\right) = \left(A \cap B\right) \bigtriangleup \left(A \cap C\right);
A \bigtriangleup \varnothing = A;
  • Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:
A \bigtriangleup A = \varnothing;
  • Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств, то множества образуют кольцо без единицы. Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:
A \cup B = A \bigtriangleup B \bigtriangleup \left(A \cap B \right),
A \setminus B = A \bigtriangleup \left(A \cap B \right).

Пример[править | править исходный текст]

Пусть

A = \{1,2,3,4,5\},\quad B = \{3,4,5,6,7\}.

Тогда

A\,\triangle\,B = \{1,2,6,7\}.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]