Симплициальный комплекс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Трёхмерный геометрический комплекс.

Симплициальный компле́кс[1], или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённому правилу.

Определения[править | править вики-текст]

Симплициальный комплекс[править | править вики-текст]

Симплициальный комплекс — топологическое пространство, представленное как объединение множеств, гомеоморфных симплексу, образующих триангуляцию этого пространства.

Геометрический комплекс[править | править вики-текст]

Это понятие является частным случаем, когда рассматриваются симплексы в евклидовом пространстве.

Геометрический комплекс — множество симплексов в евклидовом пространстве, таких что:

  • с любым из симплексов в это множество входят все его грани;
  • любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо они пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причём только по одной грани;
  • у любой точки x комплекса есть окрестность U, такая, что если U пересекается с симплексом комплекса \Delta, то x\in\Delta.

Часто дополнительно требуют локальную конечность, то есть

  • любая точка комплекса имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов.

Абстрактный комплекс[править | править вики-текст]

Абстрактный комплекс - это множество V выделенным набором его конечных подмножеств S,

таких, что если X\in S и Y\subset X то Y\in S.

При этом элементы множества V называются вершинами комплекса, а элементы множества S называются его симплексами.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • n-мерным остовом комплекса называется подкомплекс образованный всеми его симплексами размерности не более n.
  • Размерность симплициального комплекса определёется как максимальная размерность его симплексов.

Пусть K есть симплициальный комплекс, и пусть S некоторый набор симплексов в K.

  • Замыкание S (обозначается \textrm{Cl} S) есть наименьший подкомплекс в 'K, содержащий каждый симплекс из 'S. Замыкание \bar S может быть получено путём добавления к 'S всех граней всех симплексов из S.
  • Звезда от S (обозначается \textrm{St} S) — объединение звёзд всех симплексов в S. Для одного симплекса S, звезда S — это набор симплексов, имеющих S как грань. (Звезда - S , как правило, не является симплициальным комплексом).
  • Линк S (обозначается \textrm{Lk} S) может быть определён как
    \textrm{Lk} S=\textrm{Cl}(\textrm{St} S)\backslash \textrm{St}(\textrm{Cl} S).
Это подкомплекс образованный всеми симплексами входящими в симплексы большей размености вместе с симплексом из S но не имеющие граней из S.

Литература[править | править вики-текст]

  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3, стр.151. Том 4, стр.1168. (М.: Советская энциклопедия, 1985.)

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. См., например,