Симплициальный объём

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Симплициальный объёмтопологический инвариант определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия M обычно обозначается \|M\|.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть M — замкнутое многообразие, тогда

\|M\|=\inf\sum_i|r_i|

где r_i рациональные коэффициенты в представлении его фундаментального класса [M] через сумму сингулярных симплексов.

[M]=\sum_i r_i\Delta_i.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Теорема Громова: Симплициальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны.
  • Для любых многообразий M и N той же размерности
    \| M\#N\|= \| M\|+\|N\|
где \# обозначает связую сумму.
  • Существуют положительные числа a(m) и b(m) такие что если сумма размерностей \dim M+\dim N\le m то
    a(m)\| M\|\times \|N\|\le \| M\times N\|\le b(m)\| M\|\times \|N\|
где \times обозначает прямое произведение.
  • Для любого отображения f:M\to N
    \|M\|\ge (\deg f)\|N\|, где \deg f обозначает степень отображения f. В частности,
    • Если многообразие M допускает отображение M\to M степени > 1 то \|M\|=0.
    • Для любого n\ge 1 симплициальный объём n-мерной сферы равен 0.