Симплициальный объём

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Симплициальный объёмтопологический инвариант, определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия обычно обозначается .

Определение[править | править вики-текст]

Пусть — замкнутое многообразие, тогда

,

где — рациональные коэффициенты в представлении его фундаментального класса через сумму сингулярных симплексов.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Теорема Громова: Симплициальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны.
  • Для любых многообразий и той же размерности
    ,
где обозначает связную сумму.
  • Существуют положительные числа и такие, что если сумма размерностей , то
    ,
где обозначает прямое произведение.
  • Для любого отображения
    , где обозначает степень отображения . В частности:
    • Если многообразие допускает отображение степени , то .
    • Для любого симплициальный объём -мерной сферы равен .