Сингулярные гомологии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Сингулярные гомологиитеория гомологий в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами.

Построение[править | править код]

Пусть — любое топологическое пространство.

Сингулярный симплекс размерности — это пара где — это стандартный симплекс , а — его непрерывное отображение в ; .

Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами .

При этом для линейного отображения определяемого перестановкой точек полагают .

Граничный оператор определяется на сингулярном симплексе так:

,

где стандартный -мерный симплекс, а , где — это его отображение на -ю грань стандартного симплекса .

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что .

Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей , что , и границ — цепей для некоторого .

Факторгруппа группы циклов по группе границ называется группой сингулярных гомологий.

Пример[править | править код]

Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки .

Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение .

Граница симплекса , где все равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим ).

Значит:

, если нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);
, если и четно;
, если .

Отсюда получаем для нулевой размерности: .

Для нечётной размерности .

Для чётной размерности .

То есть группа гомологий равна для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.

Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.

История[править | править код]

Сингулярные гомологии были введены Лефшецом.