Сингулярные гомологии

Сингулярные гомологии — теория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами.

Построение

Пусть $X$ — любое топологическое пространство.

Сингулярный симплекс размерности $k$ — это пара $(\Delta ^{k},f)$ где $\Delta ^{k}$ — это стандартный симплекс $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$, а $f$ — его непрерывное отображение в $X$; $f:\Delta ^{k}\to X$.

Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

$c_{k}=\sum _{i}z_{i}(\Delta ^{k},f_{i})$ с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами $z_{i}$.

При этом для линейного отображения $s_{\pi }:\Delta ^{k}\to \Delta ^{k}$, определяемого перестановкой $\pi$ точек $(a_{0},a_{1},...~a_{k})$, полагают $(\Delta ^{k},f)=(-1)^{\pi }(\Delta ^{k},f\circ s_{\pi })$.

Граничный оператор $\partial$ определяется на сингулярном симплексе $(\Delta _{k},f)$ так:

$\partial (\Delta _{k},f)=\sum _{i}(-1)^{i}(\Delta _{k-1},f_{i})$,

где $\Delta _{k-1}$ стандартный $(k-1)$-мерный симплекс, а $f_{i}=f\circ \epsilon _{i}$, где $\epsilon _{i}$ — это его отображение на $i$-ю грань стандартного симплекса $\Delta ^{k}(\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle )$.

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что $\partial \partial =0$.

Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей $c_{k}$, что $\partial {c_{k}}=0$, и границ — цепей $c_{k}=\partial {c_{k+1}}$ для некоторого $c_{k+1}$.

Факторгруппа группы циклов по группе границ $H_{k}=Z_{k}/B_{k}$ называется группой сингулярных гомологий.

Пример

Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки $X=*$.

Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение $f^{k}:\Delta ^{k}\to *$.

Граница симплекса $\partial _{k}(\Delta ^{k},f^{k})=\sum (-1)^{i}(\Delta ^{k-1},f_{i}^{k-1})$, где все $f_{i}^{k-1}$ равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим $f^{k-1}$).

Значит:

$\partial (\Delta ^{k},f^{k})=0$, если $k$ нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);

$\partial (\Delta ^{k},f^{k})=(\Delta ^{k-1},f^{k-1})$, если $k\not =0$ и четно;

$\partial (\Delta ^{k},f^{k})=0$, если $k=0$.

Отсюда получаем для нулевой размерности: $Z_{0}=C_{0}=\mathbb {Z} ;\quad B_{0}=0;\quad H_{0}=\mathbb {Z} .$

Для нечётной размерности $k=2n-1:Z_{k}=C_{k}=\mathbb {Z} ;\quad B_{k}=\mathbb {Z} ;\quad H_{k}=0.$

Для чётной размерности $k=2n\not =0:Z_{k}=0;\quad B_{k}=0;\quad H_{k}=0.$

То есть группа гомологий равна $\mathbb {Z}$ для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.

Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.

История

Сингулярные гомологии были введены Лефшецом.