Система корней

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.

Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина использующиеся при классификации систем корней встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением обозначаемым как . Система корней в  — это конечное множество ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

Целостное условие для заставляет лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для сводит возможные углы между и не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых.
  1. является линейной оболочкой системы корней.
  2. Если два корня , являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо
  3. Для каждого корня множество замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной То есть для любых двух корней и множество содержит отражение
  4. (Целостное условие) Если и есть корни в то проекция на прямую, проходящую через есть полуцелое кратное То есть

Замечания[править | править вики-текст]

  • С учётом свойства 3, целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между и его отражением равна корню умноженному на некоторое целое число.
  • Оператор
определённый свойством 4, не является внутренним произведением. Он, вообще говоря, не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Классификация систем корней по схемам Дынкина[править | править вики-текст]

Все соединённые диаграммы Дынкина.

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2[править | править вики-текст]

Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов Эта система называется

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта где

Система корней ранга 2
Система корней '"`UNIQ--postMath-00000025-QINU`"' Система корней '"`UNIQ--postMath-00000026-QINU`"'
Система корней Система корней
Система корней '"`UNIQ--postMath-00000029-QINU`"' Система корней '"`UNIQ--postMath-0000002A-QINU`"'
Система корней Система корней

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]