Система F

Система F (полиморфное лямбда-исчисление, система $\lambda 2$, типизированное лямбда-исчисление второго порядка) — система типизированного лямбда-исчисления, отличающаяся от просто типизированной системы наличием механизма универсальной квантификации над типами. Эту систему разработал в 1972 году Жан-Ив Жирар в контексте теории доказательств в логике. Независимо от него подобную систему предложил в 1974 году Джон Рейнольдс. Система F позволяет формализовать концепцию параметрического полиморфизма в языках программирования и служит теоретической основой для таких языков программирования как Haskell и ML.

Система F допускает конструирование термов, зависящих от типов. Технически это достигается через механизм абстрагирования терма по типу, что в результате даёт новый терм. Традиционно для такой абстракции используют символ большой лямбды $\Lambda$. Например, взяв терм $\lambda x^{\alpha }.~x$ типа $\alpha \to \alpha$ и абстрагируясь по переменной типа $\alpha$, получаем терм $\Lambda \alpha .~\lambda x^{\alpha }.~x$. Этот терм представляет собой функцию из типов в термы. Применяя эту функцию к различным типам, мы будем получать термы с идентичной структурой, но разными типами:

$(\Lambda \alpha .~\lambda x^{\alpha }.~x)~{\texttt {Bool}}\ \to _{\beta }\ \lambda x^{\texttt {Bool}}.~x$ — терм типа ${\texttt {Bool}}\to {\texttt {Bool}}$;

$(\Lambda \alpha .~\lambda x^{\alpha }.~x)~{\texttt {Nat}}\ \to _{\beta }\ \lambda x^{\texttt {Nat}}.~x$ — терм типа ${\texttt {Nat}}\to {\texttt {Nat}}$.

Видно, что терм $\Lambda \alpha .~\lambda x^{\alpha }.~x$ обладает полиморфным поведением, то есть задаёт общий интерфейс для различных типов данных. В Системе F этому терму приписывается тип $\forall \alpha .~\alpha \to \alpha$. Квантор всеобщности в типе подчёркивает возможность подстановки вместо переменной типа $\alpha$ любого допустимого типа.

Формальное описание

Синтаксис типов

Типы Системы F конструируются из набора переменных типа с помощью операторов $\to$ и $\forall$. По традиции для переменных типа используют греческие буквы. Правила формирования типов таковы:

• (Переменная типа) Если $\alpha$ — переменная типа, то $\alpha$ — это тип;
• (Стрелочный тип) Если $A$ и $B$ являются типами, то $(A\to B)$ — это тип;
• (Универсальный тип) Если $\alpha$ является переменной типа, а $B$ — типом, то $(\forall \alpha .~B)$ — это тип.

Внешние скобки часто опускают, оператор $\rightarrow$ считают правоассоциативным, а действие оператора $\forall$ продолжающимся вправо насколько это возможно. Например, $\forall \alpha .~\forall \beta .~\alpha \to \beta \to \alpha$ — стандартное сокращение для $(\forall \alpha .~(\forall \beta .~(\alpha \to (\beta \to \alpha ))))$.

Синтаксис термов

Термы Системы F конструируются из набора термовых переменных ($x$, $y$, $z$ и т.д.) по следующим правилам

• (Переменная) Если $x$ — переменная, то $x$ — это терм;
• (Абстракция) Если $x$ является переменной, $A$ — типом, а $M$ — термом, то $(\lambda x^{A}.~M)$ — это терм;
• (Применение) Если $M$ и $N$ являются термами, то $(M~N)$ — это терм;
• (Универсальная абстракция) Если $\alpha$ является переменной типа, а $M$ — термом, то $(\Lambda \alpha .~M)$ — это терм;
• (Универсальное применение) Если $M$ является термом, а $A$ — типом, то $(M~A)$ — это терм.

Внешние скобки часто опускают, оба сорта применения считают левоассоциативными, а действие абстракций — продолжающимся вправо насколько это возможно.

Различают две версии просто типизированной системы. Если, как в приведённых выше правилах, термовые переменные в лямбда-абстракции аннотируются типами, то систему называют типизированной по Чёрчу. Если же правило абстракции заменить на

• (Абстракция по Карри) Если $x$ является переменной, а $M$ — термом, то $(\lambda x.~M)$ — это терм,

и отбросить два последних правила, то систему называют типизированной по Карри. Фактически, термы системы, типизированной по Карри, те же, что и в бестиповом лямбда-исчислении.

Правила редукции

Помимо стандартного для лямбда-исчисления правила $\beta$-редукции

$(\lambda a^{A}.~M)~N\ \to _{\beta }\ M[a:=N]$

в системе F в стиле Чёрча вводится дополнительное правило,

$(\Lambda \alpha .~M)~A\ \to _{\beta }\ M[\alpha :=A]$,

позволяющее вычислять применение терма к типу через механизм подстановки типа вместо переменной типа.

Контексты типизации и утверждение типизации

Контекстом, как и в просто типизированном лямбда-исчислении, называется множество утверждений о приписывании типов различным переменным, разделённых запятой

$\Gamma =x_{1}\!:\!A_{1},x_{2}\!:\!A_{1},\ldots ,x_{n}\!:\!A_{n}$

В контекст можно добавить «свежую» для этого контекста переменную: если $\Gamma$ — допустимый контекст, не содержащий переменной $x$, а $B$ — тип, то $\Gamma ,x\!:\!B$ — тоже допустимый контекст.

Общий вид утверждения о типизации таков:

$\Gamma \vdash M\!:\!A$

Это читается следующим образом: в контексте $\Gamma$ терм $M$ имеет тип $A$.

Правила типизации по Чёрчу

В Системе F, типизированной по Чёрчу, приписывание типов термам осуществляется в соответствии со следующими правилами:

(Начальное правило) Если переменная $x$ присутствует с типом $A$ в контексте $\Gamma$, то в этом контексте $x$ имеет тип $A$. В виде правила вывода

${x\!:\!A\in \Gamma } \over {\Gamma \vdash x\!:\!A}$

(Правило введения $\rightarrow$) Если в некотором контексте, расширенном утверждением, что $a$ имеет тип $A$, терм $M$ имеет тип $B$, то в упомянутом контексте (без $a$), лямбда-абстракция $\lambda a^{A}.~M$ имеет тип $A\to B$. В виде правила вывода

${\Gamma ,a\!:\!A\vdash M\!:\!B} \over {\Gamma \vdash (\lambda a^{A}.~M)\!:\!(A\to B)}$

(Правило удаления $\rightarrow$) Если в некотором контексте терм $M$ имеет тип $A\to B$, а терм $N$ имеет тип $A$, то применение $M~N$ имеет тип $B$. В виде правила вывода

${\Gamma \vdash M\!:\!(A\to B)\quad \Gamma \vdash N\!:\!A} \over {\Gamma \vdash (M~N)\!:\!B}$

(Правило введения $\forall$) Если в некотором контексте терм $M$ имеет тип $A$, то в этом контексте терм $\Lambda \alpha .~M$ имеет тип $\forall \alpha .~A$. В виде правила вывода

${\Gamma \vdash M\!:\!A} \over {\Gamma \vdash (\Lambda \alpha .~M)\!:\!(\forall \alpha .~A)}$

Это правило требует оговорки: переменная типа $\alpha$ не должна встречаться в утверждениях типизации контекста $\Gamma$.

(Правило удаления $\forall$) Если в некотором контексте терм $M$ имеет тип $\forall \alpha .~A$, и $B$ — это тип, то в этом контексте терм $M~B$ имеет тип $A[\alpha :=B]$. В виде правила вывода

${\Gamma \vdash M\!:\!(\forall \alpha .~A)} \over {\Gamma \vdash (M~B)\!:\!(A[\alpha :=B])}$

Правила типизации по Карри

В Системе F, типизированной по Карри, приписывание типов термам осуществляется в соответствии со следующими правилами:

(Начальное правило) Если переменная $x$ присутствует с типом $A$ в контексте $\Gamma$, то в этом контексте $x$ имеет тип $A$. В виде правила вывода

${x\!:\!A\in \Gamma } \over {\Gamma \vdash x\!:\!A}$

(Правило введения $\rightarrow$) Если в некотором контексте, расширенном утверждением, что $a$ имеет тип $A$, терм $M$ имеет тип $B$, то в упомянутом контексте (без $a$), лямбда-абстракция $\lambda a.~M$ имеет тип $A\to B$. В виде правила вывода

${\Gamma ,a\!:\!A\vdash M\!:\!B} \over {\Gamma \vdash (\lambda a.~M)\!:\!(A\to B)}$

(Правило удаления $\rightarrow$) Если в некотором контексте терм $M$ имеет тип $A\to B$, а терм $N$ имеет тип $A$, то применение $M~N$ имеет тип $B$. В виде правила вывода

${\Gamma \vdash M\!:\!(A\to B)\quad \Gamma \vdash N\!:\!A} \over {\Gamma \vdash (M~N)\!:\!B}$

(Правило введения $\forall$) Если в некотором контексте терм $M$ имеет тип $A$, то в этом контексте этому терму $M$ может быть приписан и тип $\forall \alpha .~A$. В виде правила вывода

${\Gamma \vdash M\!:\!A} \over {\Gamma \vdash M\!:\!(\forall \alpha .~A)}$

Это правило требует оговорки: переменная типа $\alpha$ не должна встречаться в утверждениях типизации контекста $\Gamma$.

(Правило удаления $\forall$) Если в некотором контексте терм $M$ имеет тип $\forall \alpha .~A$, и $B$ — это тип, то в этом контексте этому терму $M$ может быть приписан и тип $A[\alpha :=B]$. В виде правила вывода

${\Gamma \vdash M\!:\!(\forall \alpha .~A)} \over {\Gamma \vdash M\!:\!(A[\alpha :=B])}$

Пример. По начальному правилу:

$x\!:\!(\forall \alpha .~\alpha \to \alpha )\vdash x\!:\!(\forall \alpha .~\alpha \to \alpha )$

Применим правило удаления $\forall$, взяв в качестве $B$ тип $\forall \alpha .~\alpha \to \alpha$

$x\!:\!(\forall \alpha .~\alpha \to \alpha )\vdash x\!:\!(\forall \alpha .~\alpha \to \alpha )\to (\forall \alpha .~\alpha \to \alpha )$

Теперь по правилу удаления $\rightarrow$ имеем возможность применить терм $x$ сам к себе

$x\!:\!(\forall \alpha .~\alpha \to \alpha )\vdash (x~x)\!:\!(\forall \alpha .~\alpha \to \alpha )$

и, наконец, по правилу введения $\rightarrow$

$\vdash (\lambda x.~x~x)\!:\!(\forall \alpha .~\alpha \to \alpha )\to (\forall \alpha .~\alpha \to \alpha )$

Это пример терма, типизируемого в Системе F, но не в просто типизированной системе.

Представление типов данных

Система F обладает достаточными выразительными средствами, для того чтобы напрямую реализовать многие типы данных, используемые в языках программирования. Будем работать в версии Чёрча системы F.

Пустой тип. Тип

$\bot \ \equiv \ \forall \alpha .~\alpha$

необитаем в системе F, то есть в ней отсутствуют термы с таким типом.

Единичный тип. У типа

$\top \ \equiv \ \forall \alpha .~\alpha \to \alpha$

в системе F имеется единственный находящийся в нормальной форме обитатель — терм

${\mathtt {id}}\ \equiv \ \Lambda \alpha .~\lambda x^{\alpha }.~x$.

Булев тип. В системе F задается так:

${\mathtt {Bool}}\ \equiv \ \forall \alpha .~\alpha \to \alpha \to \alpha$.

У этого типа ровно два обитателя, отождествляемых с двумя булевыми константами

${\mathtt {true}}\ \equiv \ \Lambda \alpha .~\lambda x^{\alpha }.~\lambda y^{\alpha }.~x$

${\mathtt {false}}\ \equiv \ \Lambda \alpha .~\lambda x^{\alpha }.~\lambda y^{\alpha }.~y$

Конструкция условного оператора

${\mathtt {ifThenElse}}\ \equiv \ \Lambda \alpha .~\lambda b^{\mathtt {Bool}}.~\lambda x^{\alpha }.~\lambda y^{\alpha }.~b\,\alpha \,x\,y$

Эта функция удовлетворяет естественным требованиям

${\mathtt {ifThenElse}}\,A\,{\mathtt {true}}\,M\,N=M$

и

${\mathtt {ifThenElse}}\,A\,{\mathtt {false}}\,M\,N=N$

для произвольного типа $A$ и произвольных $M\!:\!A$ и $N\!:\!A$. В этом легко убедиться, раскрыв определения и выполнив $\beta$-редукции.

Тип произведения. Для произвольных типов $A$ и $B$ тип их декартова произведения

$A\times B~\equiv ~\forall \alpha .~(A\to B\to \alpha )\to \alpha$

населён парой

$\langle M;N\rangle ~\equiv ~\Lambda \alpha .~\lambda f^{(A\to B\to \alpha )}.~f~M~N$

для каждых $M\!:\!A$ и $N\!:\!B$. Проекции пары задаются функциями

${\mathtt {fst}}\ \equiv \ \Lambda \alpha .~\Lambda \beta .~\lambda p^{\alpha \times \beta }.~p\,\alpha \,(\lambda x^{\alpha }.\,\lambda y^{\beta }.\,x)~:~\forall \alpha .~\forall \beta .\,\alpha \times \beta \to \alpha$

${\mathtt {snd}}\ \equiv \ \Lambda \alpha .~\Lambda \beta .~\lambda p^{\alpha \times \beta }.~p\,\beta \,(\lambda x^{\alpha }.\,\lambda y^{\beta }.\,y)~:~\forall \alpha .~\forall \beta .\,\alpha \times \beta \to \beta$

Эти функции удовлетворяют естественным требованиям ${\mathtt {fst}}\,A\,B\,\langle M;N\rangle =M$ и ${\mathtt {snd}}\,A\,B\,\langle M;N\rangle =N$.

Тип суммы. Для произвольных типов $A$ и $B$ тип их суммы

$A+B~\equiv ~\forall \alpha .~(A\to \alpha )\to (B\to \alpha )\to \alpha$

населён либо термом типа $A$, либо термом типа $B$, в зависимости от применённого конструктора

${\mathtt {injL}}\,M~\equiv ~\Lambda \alpha .\,\lambda f^{A\to \alpha }.\,\lambda g^{B\to \alpha }.\,f\,M$

${\mathtt {injR}}\,N~\equiv ~\Lambda \alpha .\,\lambda f^{A\to \alpha }.\,\lambda g^{B\to \alpha }.\,g\,N$

Здесь $M\!:\!A$, $N\!:\!B$. Функция, осуществляющая разбор случаев (сопоставление с образцом), имеет вид

${\mathtt {match}}~\equiv ~\Lambda \alpha .\,\Lambda \beta .\,\Lambda \gamma .\,\lambda s^{\alpha +\beta }.\,\lambda f^{\alpha \to \gamma }.\,\lambda g^{\beta \to \gamma }.\,s\,\gamma \,f\,g~:~\forall \alpha .~\forall \beta .~\forall \gamma .~\alpha +\beta \to (\alpha \to \gamma )\to (\beta \to \gamma )\to \gamma$

Эта функция удовлетворяет следующим естественным требованиям

${\mathtt {match}}\,A\,B\,C\,({\mathtt {injL}}\,M)\,F\,G=F\,M$

и

${\mathtt {match}}\,A\,B\,C\,({\mathtt {injR}}\,N)\,F\,G=G\,N$

для произвольных типов $A$, $B$ и $C$ и произвольных термов $F\!:\!A\to C$ и $G\!:\!B\to C$.

Числа Чёрча. Тип натуральных чисел в системе F

${\mathtt {Nat}}\ \equiv \ \forall \alpha .~\alpha \to (\alpha \to \alpha )\to \alpha$

населён бесконечным количеством различных элементов, получаемых посредством двух конструкторов ${\mathtt {zero}}\!:\!{\mathtt {Nat}}$ и ${\mathtt {succ}}\!:\!{\mathtt {Nat}}\to {\mathtt {Nat}}$:

${\mathtt {zero}}\ \equiv \ \Lambda \alpha .\,\lambda z^{\alpha }.\,\lambda s^{\alpha \to \alpha }.\,z$

${\mathtt {succ}}\ \equiv \ \lambda n^{\mathtt {Nat}}.\,\Lambda \alpha .\,\lambda z^{\alpha }.\,\lambda s^{\alpha \to \alpha }.\,s\,(n\,\alpha \,z\,s)$

Натуральное число $n$ может быть получено $n$-кратным применением второго конструктора к первому или, эквивалентно, представлено термом

${\overline {n}}\ \equiv \ \Lambda \alpha .\,\lambda z^{\alpha }.\,\lambda s^{\alpha \rightarrow \alpha }.\,\underbrace {s(s(s\ldots (s} _{n}\,z)\ldots ))$

Свойства

• Просто типизированная система обладает свойством типовой безопасности: при $\beta$-редукциях тип лямбда-терма остаётся неизменным, а сама типизация не мешает продвижению вычислений.

• В своей диссертации Жан-Ив Жирар показал, что Система F обладает свойством сильной нормализации: любой допустимый терм за конечное число $\beta$-редукций приводится к единственной нормальной форме.

• Система F является импредикативной системой, поскольку переменная типа, связываемая квантором всеобщности при определении универсального типа, может замещаться самим определяемым объектом. Например, терм ${\texttt {id}}$ единичного типа $\top \equiv \forall \alpha .~\alpha \to \alpha$ может быть применён к собственному типу, порождая терм типа $\top \to \top$. Как показал Джо Уэллс в 1994 году, задача вывода типов для версии Карри Системы F неразрешима. Поэтому при практической реализации языков программирования обычно используют ограниченные, предикативные версии полиморфизма: пренекс-полиморфизм (полиморфизм в стиле ML), полиморфизм ранга 2 и т.п. В случае пренекс-полиморфизма областью определения переменных типа служат только типы без кванторов. В этих системах задача вывода типов разрешима, такой вывод базируется на алгоритме Хиндли — Милнера.

• Соответствие Карри — Ховарда связывает Систему F с минимальной интуиционистской логикой высказываний второго порядка, формулы которой построены из пропозициональных переменных с помощью импликации и универсальной квантификации по высказываниям. При этом значения $\top$ (истина), $\bot$ (ложь), связки $\lnot$ (отрицание), $\land$ (конъюнкция) и $\lor$ (дизъюнкция), а также $\exists$ (квантор существования) могут быть определены так

$\top ~\equiv ~\forall \alpha .\,\alpha \to \alpha$

$\bot ~\equiv ~\forall \alpha .\,\alpha$

$\lnot A~\equiv ~A\to \bot$

$A\land B~\equiv ~\forall \alpha .\,(A\to B\to \alpha )\to \alpha$

$A\lor B~\equiv ~\forall \alpha .\,(A\to \alpha )\to (B\to \alpha )\to \alpha$

$\exists \alpha .\,M[\alpha ]~\equiv ~\forall \gamma .\,(\forall \alpha .\,M[\alpha ]\to \gamma )\to \gamma$

Отметим, что соответствие Карри — Ховарда ставит в соответствие истине — единичный тип, лжи — пустой тип, конъюнкции — произведение типов, а дизъюнкции — их сумму.

Литература

• Pierce, Benjamin C. Types and Programming Languages. — MIT Press, 2002. — ISBN 0-262-16209-1.
  • Перевод на русский язык: Пирс Б. Типы в языках программирования. — Добросвет, 2012. — 680 с. — ISBN 978-5-7913-0082-9.
• Barendregt, Henk. Lambda Calculi with Types // Handbook of Logic in Computer Science. — Oxford University Press, 1992. — Т. II. — С. 117-309.
• Jean-Yves Girard, Paul Taylor, Yves Lafont. Proofs and Types. — Cambridge University Press, 1989. — ISBN 0 521 37181 3.