Скатерть Улама

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Скатерть Улама размера 200×200

Скатерть Улама — названная в честь Станислава Улама спираль чисел натурального ряда, на которой отмечены клетки, соответствующие простым числам[1].

История открытия[править | править исходный текст]

Скатерть Улама была открыта случайно в 1963 году — однажды математику довелось присутствовать на очень длинном и скучном докладе. Чтобы развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии, чтобы заняться составлением шахматных этюдов. Но вместо этого он стал нумеровать клетки: в центре поставил единицу, а затем, двигаясь по спирали, двойку, тройку и т. д.

Числа от 1 до 49 расположенные по спирали

При этом он машинально отмечал простые числа.

Спираль Улама

Оказалось, что простые числа стали выстраиваться вдоль диагональных прямых. Это заинтересовало Улама, и позже он вместе с Майроном Л. Стейном и Марком Б. Уэллсом продолжил это исследование на ЭВМ MANIAC II Лос-Аламосской лаборатории, использовав магнитную ленту, на которой были записаны 90 млн простых чисел[2].

Скатерть Улама 2000x2000
Простые числа являющиеся решением многочлена 4x2-2x+41 обозначены синим.

Математическое значение[править | править исходный текст]

Скатерть Улама позволяет визуально определить многочлены второй степени, которые наиболее часто принимают значения являющиеся простыми числами. Эти многочлены могут использоваться для генерации простых чисел, в том числе и полином Эйлера 4x^2-2x+41. Построение скатерти Улама больших размеров и другие представления последовательности чисел на плоскости использовались для поиска функции, решения которой принимают простые числа как можно чаще.

Вариации скатерти Улама[править | править исходный текст]

Треугольник Клаубера с отмеченными на нем простыми числами, сгенерированными полиномом Эйлера x2x+41.
Спираль Сакса.
Модификация спирали Улама, построенная на основе шестигранников.
Таблица, каждый ряд которой содержит возрастающее в арифметической прогрессии количество чисел.

Лауренце Монро Клаубер описал треугольное представление чисел, в котором каждый ряд n содержит числа от (n-1)^2+1 до n^2. Как и в спирали Улама, полиномы второй степени на плоскости образуют прямые линии. Вертикальные линии соответствуют виду k^2-k+M, некоторые из которых имеют высокую плотность простых чисел.

В 1994 году Роберт Сакс изобрёл вариант спирали Улама, где числа расположены по Архимедовой спирали. В отличие от спирали Улама, количество чисел, образующих замкнутый круг, равно квадрату порядкового номера спирали. В спирали Сакса в каждую спираль входит такое количество чисел, которое равно удвоенному номеру спирали. Благодаря этому свойству все решения многочленов второй степени полностью укладываются в один луч, в то время как на спирали Улама они занимают два луча.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

  1. Матиясевич Ю. В. Формулы для простых чисел, Квант, 5, 1975.
  2. М. Гарднер Простые числа // Математические досуги. — М.: Мир, 1972. — С. 413—417.