Слегка избыточные числа

Слегка́ избы́точное число́, или квазисоверше́нное число́ (от лат. quas(i) «наподобие», «нечто вроде») — избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа.

До настоящего времени (2021 год) не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора, впервые попытавшегося решить эту проблему, математики не могут доказать, что слегка избыточных чисел не существует. Известно лишь, что (если слегка избыточные числа существуют) они должны быть больше 10³⁵ и иметь не менее 7 различных простых делителей.

Необходимое условие

Сумму собственных делителей $S$ натурального числа $x$ можно найти, отняв от суммы всех делителей исходное число.

$S(x)=\sigma (x)-x$.

По определению для слегка избыточных чисел $S(x)=x+1$. Тогда $\sigma (x)=2x+1$ — нечётное. Значит, в произведении

$\sigma (x)=(1+p_{1}+p_{1}^{2}+\ldots +p_{1}^{k_{1}})(1+p_{2}+p_{2}^{2}+\ldots +p_{2}^{k_{2}})\ldots (1+p_{n}+p_{n}^{2}+\ldots +p_{n}^{k_{n}}),$ где $x=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\ldots p_{n}^{k_{n}},$ все множители нечётные.

Для нечётного $p_{i}$ сумма $1+p_{i}+p_{i}^{2}+\ldots +p_{i}^{k_{i}}$ будет нечётной только при чётном $k_{i}$.

Единственное чётное простое число — это 2. Соответствующая сумма $1+2+2^{2}+\ldots +2^{k}$ всегда нечётна.

Слегка избыточное число $x$ является либо полным квадратом числа, либо удвоенным квадратом числа.

См. также

• Избыточные числа
• Недостаточные числа
• Слегка недостаточные числа
• Совершенные числа