След матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если элементы матрицы , то её след .

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: (от англ. trace — след), и (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга (один раз ковариантного и один раз контравариантного) называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Линейность .
  • .
    Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: .
  • , где означает операцию транспонирования.
  • .
  • Если тензорное произведение матриц A и B, то .
  • След матрицы равен сумме её собственных значений.
  • Определитель квадратной матрицы можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие . Например .

Геометрическое свойство[править | править вики-текст]

  • ,
где E — единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.
  • Следствия:
    • для малых α
    • Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.

См. также[править | править вики-текст]