След (теория полей)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

След (англ. Trace) — отображение элементов конечного расширения поля в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение K степени ,  — элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над полем K, этот элемент определяет линейное преобразование . Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. След этой матрицы называется следом элемента α. Так как в другом базисе данному отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же следом, след не зависит от выбора базиса, то есть каждому элементу расширения однозначно сопоставляется его след. Он обозначается или, если понятно, о каком расширении идёт речь, просто .

Свойства следа[править | править код]

  • при
  • Если Е — сепарабельное расширение, то  — ненулевой функционал, если несепарабельно, то .
  • След транзитивен, то есть для цепочки расширений имеем
  • Если E=K(α) — простое алгебраическое расширение и f(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 — минимальный многочлен α то

Выражение следа через автоморфизмы E над K[править | править код]

Пусть σ12…σm — все автоморфизмы E, оставляющие неподвижными элементы K. Если E сепарабельно, то m равно степени [E:К]=n. Тогда для следа существует следующее выражение:

Если E несепарабельно то m≠n, но n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p: n=pim.

Тогда

Пример[править | править код]

Пусть K — поле действительных чисел, а E — поле комплексных чисел. Тогда след числа равен . След комплексного числа можно вычислить по формуле , и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение — единственный автоморфизм поля комплексных чисел.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967