Сложение (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
В учебниках часто объясняют сложение с помощью яблок и равенства 3 + 2 = 5[1]

Сложе́ние (приба́вление[2]) — одна из основных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов (слагаемых), результатом которой является новое число (сумма), получаемое увеличением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «плюс»: .
В общем виде можно записать: , где и . То есть каждой паре элементов из множества ставится в соответствие элемент , называемый суммой и [3].

Сложение возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов (имеют одинаковый тип).

На множестве вещественных чисел график функции сложения имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов[4][5].

У сложения есть несколько важных свойств (например для ):

Коммутативность:
Ассоциативность (см. Сумма):
Дистрибутивность:
Прибавление (нулевого элемента) даёт число равное исходному:
Сложение с противоположным элементом даёт :

В качестве примера, на картинке справа запись обозначает три яблока и два яблока вместе, что в сумме дает пять яблок. Заметим, что нельзя сложить например 3 яблока и 2 груши. Таким образом, . Помимо счета яблок, сложение также может представлять объединение других физических и абстрактных величин, таких как: отрицательные числа, дробные числа, векторы, функции, и другие.

Известны различные устройства для сложения: от древних абаков до современных компьютеров, задача реализации наиболее эффективного сложения для последних является актуальной по сей день.

Формы записи и терминология[править | править вики-текст]

Символ плюса

Сложение записывается с использованием символа плюса «» между слагаемыми; такая форма записи называется инфиксной нотацией. Результат записывается с использованием знака равенства «», например:

 ;
(«три плюс три равно шесть») ;
(«тридцать пять плюс шестьдесят четыре равно девяносто девять») .
Сложение в столбик:
5 + 12 = 17

В ряде ситуаций подразумевается сложение, но при этом символы сложения не используются:

  • В записи чисел в позиционных системах счисления: запись числа подразумевает суммирование ряда [6].
  • Если имеется столбец чисел, последнее (нижнее) число в котором подчеркнуто, то обычно подразумевается, что все числа в этом столбце складываются, а полученная сумма записывается ниже подчеркнутого числа.
  • Если имеется запись, когда перед дробью стоит целое число, то эта запись означает сумму двух слагаемых — целого числа и дроби, которую называют смешанным числом[7], например: .

Такая запись может вызвать путаницу, поскольку в большинстве других случаев, подобная запись означает умножение, а не сложение[8].

Свойства[править | править вики-текст]

Операция сложения на числовых множествах имеет следующие основные свойства:

  • Сложение коммутативно — от перемены мест слагаемых сумма не меняется, так-же известно, как переместительный закон сложения:
Коммутативность:
  • Сложение ассоциативно — при последовательном выполнении сложения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения, так-же известно, как сочетательный закон сложения:
Ассоциативность (см. Сумма):
  • Сложение дистрибутивно, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, так-же известно, как распределительный закон[9] .
Дистрибутивность:
  • Относительно сложения в множестве существует единственный нейтральный элемент, сложение числа с (нулевым или нейтральным элементом) даёт число равное исходному:
Нулевой элемент:
[10]

Операция сложения чисел определённых на множествах даёт число (сумму) принадлежащее этому-же множеству (операция, не выводит результат из данного множества чисел), следовательно множества замкнуты относительно операции сложения. Так же множества чисел с операциями и образуют кольца (коммутативные кольца с единицей)[11]. На языке общей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что являются абелевыми группами относительно операции сложения.

Выполнение сложения[править | править вики-текст]

Операцию сложения можно представить, как некий "черный ящик" с двумя слагаемыми на входе и одним выходом - суммой:[12][13]

Чёрный ящик.jpg

При практическом решении задачи сложения двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: "простое сложение"[источник не указан 360 дней], перенос, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы сложения, например для чисел, дробей, векторов и др. На числовых множествах используется алгоритм поразрядного сложения[14]. При этом следует рассматривать сложение как процедуру (в отличие от операции).

Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при сложении больших чисел может занять продолжительное время.

"Простое сложение" - в данном контексте обозначает операцию сложения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к инкрементированию.[источник не указан 360 дней] Является гипероператором инкрементирования:

Пример пошагового сложения чисел 2 и 4 на числовой прямой.

где - последовательность операций инкрементирования, выполненная и раз.

Чтобы упростить и ускорить процесс сложения используют табличный метод "простого сложения", для этого заранее вычисляют все комбинации сумм чисел от 0 до 9 и берут готовый результат из этой таблицы [16]:

Данная процедура применима к сложению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Сложение чисел[править | править вики-текст]

Натуральные числа[править | править вики-текст]

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств порождённых биекциями, с помощью скобок: . Тогда арифметическая операция «сложение» определяется следующим образом:

где  — дизъюнктное объединение множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества на отрезок можно понимать как нумерацию элементов множества . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ»[17]. Таким образом, «счет» - это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел[18].

Для сложения натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм сложения. Если даны два натуральных числа и  такие, что:

где ; - количество цифр в числе ; - порядковый номером разряда (позиции), ; - основание системы счисления; множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления: , , ; тогда:

складывая поразрядно, получаем[коллизия переменных: c - значит две разные вещи]:

Таким образом операция сложения сводится к процедуре последовательного простого сложения одноразрядных чисел , с формированием единицы переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо инкрементированием (счетом).

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами[19]. При этом нужно пользоваться таблицей сложения, соответствующей данному основанию системы счисления.

Пример сложения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, единица переноса пишется сверху, недостающие разряды дополняются нулями:

Целые числа[править | править вики-текст]

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел , получаемое добавлением отрицательных чисел [20] вида . Множество целых чисел обозначается Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами. Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру сложения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

Положительное и отрицательное числа на числовой прямой.
  • Если оба слагаемых положительные, тогда:
  • Если одно из слагаемых отрицательно, тогда нужно от слагаемого с большем значением модуля вычесть слагаемое с меньшим значением модуля, после чего перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше:
  • Если оба слагаемых отрицательны, тогда: [21].

Например, рассмотрим выражение: ; так как у чисел и разные знаки, то их абсолютные величины вычитаются (из большего меньшее): , и так как абсолютная величина отрицательного числа здесь больше абсолютной величины положительного числа , то ответ будет отрицательным .

Рациональные числа[править | править вики-текст]

Множество рациональных чисел обозначается (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде:

Для сложения рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: , их следует преобразовать (привести) к общему (одинаковому) знаменателю. Например, взять произведение знаменателей, числители при этом умножаются на соответствующие знаменатели. Затем сложить полученные числители, а произведение знаменателей станет общим.

Если даны два рациональных числа и такие, что: (дроби не сокращаемые), тогда:

[22]

Либо можно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Порядок действий:

  • Находим наименьшее общее кратное знаменателей: .
  • Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на .
  • Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на .

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ). В ряде простых случаев это упрощает вычисления, но в случае больших чисел расчёты значительно усложняются. Можно взять в качестве любое другое общее кратное.

Пример сложения:

Если знаменатели обеих дробей совпадают, то:

Если знаменатели кратны какому либо числу, то преобразуем только одну дробь:

Арифметическая операция «сложение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа[править | править вики-текст]

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[23] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

,

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: и , то их суммой называют число , определённое суммой последовательностей и :

;


вещественное число , удовлетворяет следующему условию:

.


Таким образом суммой двух вещественных чисел   и  является такое вещественное число  которое содержится между всеми суммами вида  с одной стороны и всеми суммами вида  с другой стороны[24].

На практике для того, чтобы сложить два числа и , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами и . За приближенное значение суммы чисел берут сумму указанных рациональных чисел . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают и . Сложение производится по алгоритму поразрядного сложения.

При сложении приближённых чисел их абсолютные погрешности скла­дываются , абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных по­грешностей слагаемых; на практике принимается наибольшее значение . Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример сложения , с точностью до 3-го знака после запятой:

  • Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
  • Получаем:  ;
  • Поразрядно складывам:  ;
  • Округляем до 3-го знака после запятой: .

График[править | править вики-текст]

На множестве вещественных чисел график функции сложения имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов. Так как , то и для этих множеств значения функции сложения будет принадлежать этой плоскости.[25]

График функции f(c)=a+b

Комплексные числа[править | править вики-текст]

Сложение двух комплексных чисел может быть представлено геометрически через построение параллелограмма.

Комплексные числа складываются друг с другом путём сложения действительных и мнимых частей[26]. Это значит, что:

Где: , — мнимая единица .Используя представление комплексных чисел как точек на комплексной плоскости, можно дать сложению комплексных чисел следующую геометрическую интерпретацию: суммой комплексных чисел и , представленных точками на комплексной плоскости, является точка C, полученная путём построения параллелограмма, три вершины которого находятся в точках O, A и B. Или, можно сказать, что C — это такая точка, что треугольники OAB и CBA конгруэнтны.

Аналогично для гиперкомплексных чисел (комплексных чисел n-ой размерности): [27]

Экспоненциальная запись[править | править вики-текст]

В экспоненциальной записи числа записываются в виде , где  — мантисса,  — характеристика числа, - основание системы счисления. Для сложения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме, требуется, чтобы у них были одинаковые характеристики: согласно свойству дистрибутивности.

Например:

Особый случай составляет сложение больших и малых чисел, когда одно число намного больше другого. Например , тогда соответственно и погрешности этих чисел будут несопоставимы и при выполнении сложения бо′льшая погрешность поглотит меньшую. Таким образом возможно нарушение свойства ассоциативности.

Например выражение: , если выполнить получится после округления результата , складывая далее получим , если выполнять сложение в ином порядке, тогда: . Таким образом получаются два различных результата.

Сложение произвольных чисел[править | править вики-текст]

При сложении чисел принадлежащих разным множествам необходимо произвести расширение числа из множества с меньшей мощностью в сторону числа из множества с большей мощностью, либо оба числа расширить до уравнивания множеств, если существует такая возможность. Например, если нужно сложить натуральное число с рациональным , то воспользовавшись тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных, расширяем число до рационального и складываем два рациональных числа . Аналогично, пользуясь тем, что: можно складывать числа из различных множеств между собой.[источник не указан 360 дней]

Возвращаясь к примеру с яблоками воспользуемся тем, что множество яблок и множество груш являются подмножествами множества фруктов: можно сложить 3 яблока и 2 груши расширив оба множества до множества фруктов: фрукта_яблока фрукта_груши фруктов.[стиль]

Компьютеры[править | править вики-текст]

Комбинационная схема восьмиразрядного сумматора с пирамидой переносов, который складывает два двоичных восьмиразрядных числа c=a+b.

Операция сложения является базовой в Электронных цифровых Вычислительных Машинах (ЭВМ) - компьютерах. Производительность операции сложения и в особенности ограничения, связанные с механизмом переноса, влияют на общую производительность компьютера. Основная часть компьютерного процессора - сумматор выполняет поразрядное целочисленное сложение в двоичной системе счисления, используя бинарную арифметику. Для решения задачи электронным устройством, сложение аппаратно сводится к последовательности более простых операций - «Сложение по Модулю Два», «И», «Или» и другим битовым операциям. Чтобы увеличить скорость, компьютеры вычисляют значения в разрядах параллельно, используя 32, 64, 128 и 256-битные числа. В современных компьютерах сложение целых чисел является самой быстрой операцией, в то же время оно имеет огромное влияние на общую производительность компьютера, поскольку целочисленное сложение лежит в основе всех операций с плавающей запятой, а также в таких задачах как генерация адресов во время доступа к памяти и выборка команд во время определённого порядка их выполнения.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Эндертон, 1977: «…выбирая два набора K и L с K = 2 и L = 3. Наборы из пальцев удобны; наборы из яблок предпочитают использовать в учебниках».
  2. Рудницкая В.Н., 2004, Термин используется в русскоязычных учебниках математики начальных классов, с. 110.
  3. Давидович, 2008, Действительные числа, ч. 1, с. 29.
  4. Что непосредственно вытекает из формулы плоскости , при имеем плоскость проходящую через начало координат и наклоненную к осям на 45°
  5. Соболев, 2012, с. 21.
  6. Системы счисления, 2006, с. 3.
  7. Девайн и соавторы, 1991, с. 263.
  8. Мазур, 2014, с. 161.
  9. Так эти свойства называются в учебниках для младших классов
  10. Свойства сложения, 2016, Сумма с противоположным числом, с. 1.
  11. Зельвенский, 2013, с. 18.
  12. Чёрный я́щик — термин, используемый для обозначения системы, внутреннее устройство и механизм работы которой очень сложны, неизвестны или неважны в рамках данной задачи. «Метод чёрного ящика» — метод исследования таких систем, когда вместо свойств и взаимосвязей составных частей системы, изучается реакция системы, как целого, на изменяющиеся условия.
  13. Эшби, 1959, с. 127-169.
  14. Зубарева, 2013, с. 195.
  15. Алгоритм сложения, с. 1.
  16. Истомина, 2005, с. 165.
  17. нумерация, Теоретические основы введения целых неотрицательных чисел, с. 7.
  18. Истомина2, 2009, Методика обучения математике в начальной школе, с. 71.
  19. Системы счисления, 2006, с. 3.
  20. Выгодский, 2003.
  21. Барсуков, 1966, с. 25.
  22. Гусев, 1988, с. 20.
  23. Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида
  24. Ильин, 1985, с. 46.
  25. График выполнен программой "3D Grapher Версия 1.2", www.romanlab.com. Входные аргументы: x=a, y=b, z=a+b
  26. Конвей, 1986, с. 107.
  27. Александров, 1956, с. 304.

Литература[править | править вики-текст]

  • Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.
  • Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение.. — 2-е изд. — Ассоциация XXI век, 2009. — С. 71. — 288 с. — ISBN 978-5-89308-731-4.
  • Рудницкая В.Н. Математика. 1 класс. Часть 2. — Вентана Граф, 2004. — Т. 2. — 144 с. — ISBN 978-5-360-02913-7.

по аналитической геометрии.]. — Москва. МГТУ им. Н.Э. Баумана., 2012. — 74 с.

  • Росс Эшби У. Глава 6. Черный ящик // Введение в кибернетику = An Introduction to Cybernetics. — Издательство иностранной литературы, 1959. — С. 127-169. — 432 с.
  • Conway, John B. Функция одной комплексной переменной = Functions of One Complex Variable I. — Springer Science, 1986. — 322 с. — ISBN 0-387-90328-3.
  • Системы счисления. — Вологда: ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум», 2006. — С. 3. — 16 с.
  • Mazur, Joseph. Поучительные символы: Краткая История Математических Обозначений и их Скрытых Сил = Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. — Princeton University Press, 2014. — 321 с. — ISBN 1400850118.
  • Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. Элементарная математика для учителей = Elementary Mathematics for Teachers. — Wiley, 1991.
  • Давидович Б. М., Пушкарь П. Е., Чеканов Ю. В. Математический анализ в 57-й школе. — Москва: Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО), 2008. — С. 29. — 177 с.

Ссылки[править | править вики-текст]