Теорема Менелая: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Нет описания правки |
м →Ссылки: Орфография |
||
Строка 65: | Строка 65: | ||
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}} |
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}} |
||
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|73-74|1}} |
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|73-74|1}} |
||
* {{статья |автор=[[Шаль, Мишель]] |заглавие=[[s:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание VI/ДО|О теореме Птоломея относительно треугольника, |
* {{статья |автор=[[Шаль, Мишель]] |заглавие=[[s:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание VI/ДО|О теореме Птоломея относительно треугольника, пересечённого трансверсалью]] |издание=[[s:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов|Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов]] |том=2 |место=М. |год=1883}} |
||
* {{статья |автор=Sidoli N. |ссылка=http://individual.utoronto.ca/acephalous/Sidoli_2006.pdf |заглавие=The sector theorem attributed to Menelaus |издание=SCIAMVS |номер=7 |год=2006 |страницы=43–79}} |
* {{статья |автор=Sidoli N. |ссылка=http://individual.utoronto.ca/acephalous/Sidoli_2006.pdf |заглавие=The sector theorem attributed to Menelaus |издание=SCIAMVS |номер=7 |год=2006 |страницы=43–79}} |
||
Версия от 12:19, 25 мая 2019
Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях или теорема о полном четырёхстороннике — классическая теорема аффинной геометрии.
Формулировка
Если точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда
где , и обозначают отношения направленных отрезков.
Проведем через точку прямую, параллельную прямой , и обозначим через точку пересечения этой прямой с прямой . Поскольку треугольники и подобны (по двум углам), то
- .
Так как подобными являются также треугольники и , тем самым
- .
Исключая , получаем
- .
Остаётся заметить, что возможны два расположения точек и : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем
Замечания
- В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:
Вариации и обобщения
- Тригонометрический эквивалент:
- , где все углы — ориентированные.
- В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид
- В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид
История
Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.
Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.
Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.[2]
Применения
- Теорема Сальмона
- Многие теоремы проективной геометрии, например Теорема Паппа и Теорема Дезарга доказываются многократным применением теоремы Менелая.
См. также
Примечания
- ↑ на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки
- ↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678
Ссылки
- Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — 334 с.
- Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 73-74. — ISBN 5-94057-170-0.
- Шаль, Мишель. О теореме Птоломея относительно треугольника, пересечённого трансверсалью // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М., 1883. — Т. 2.
- Sidoli N. The sector theorem attributed to Menelaus // SCIAMVS. — 2006. — № 7. — С. 43–79.