Арифметическая прогрессия: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
м
откат правок 46.242.61.48 (обс.) к версии Dalka
Метки: визуальный редактор замена удаление текста
м (откат правок 46.242.61.48 (обс.) к версии Dalka)
Метка: откат
{{Значения|Прогрессия}}
'''Арифмети́ческая прогре́ссия''' — [[числовая последовательность]] вида
: <math>a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots</math>,
то есть последовательность чисел ('''членов''' прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа <math>d</math> ('''шага''', или '''разности''' прогрессии):
: <math>a_n=a_{n-1} + d \quad </math>
Любой (''n''-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
: <math>a_n=a_1 + (n-1)d</math>
 
Арифметическая прогрессия является [[монотонная последовательность|'''монотонной последовательностью''']]. При <math>d>0</math> она является возрастающей, а при <math>d<0</math> — убывающей. Если <math>d=0</math>, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения <math>a_{n+1}-a_n=d</math> для членов арифметической прогрессии.
 
== Свойства ==
 
=== Общий член арифметической прогрессии ===
Член арифметической прогрессии с номером <math>n</math> может быть найден по формуле
: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>
: где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — её разность.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! Доказательство
|-
| Пользуясь соотношением <math>a_{n+1}=a_n+d</math> выписываем последовательно несколько членов прогрессии:
 
<math>a_2=a_1+d</math>
 
<math>a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d</math>
 
<math>a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d</math>
 
<math>a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d</math>
 
Заметив закономерность, делаем предположение, что <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. С помощью [[Математическая индукция|математической индукции]] покажем, что предположение верно для всех <math>n \in \mathbb N</math>:
 
'''База''' индукции <math>(n=1)</math> :
 
<math>a_1=a_1+(1-1)d=a_1</math> — утверждение истинно.
 
'''Переход''' индукции:
 
Пусть наше утверждение верно при <math>n=k</math>, то есть <math>a_k=a_1+(k-1)d</math>. Докажем истинность утверждения при <math>n=k+1</math>:
 
<math>a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd</math>
 
Итак, утверждение верно и при <math>n=k+1</math>. Это значит, что <math>a_n=a_1+(n-1)d</math> для всех <math>n \in \mathbb N</math>.
|}
 
=== Характеристическое свойство арифметической прогрессии ===
Последовательность <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> есть арифметическая прогрессия <math>\Leftrightarrow</math> для любого её элемента выполняется условие <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2</math>.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! Доказательство
|-
| '''Необходимость''':
 
Поскольку <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> — арифметическая прогрессия, то для <math>n \geqslant 2</math> выполняются соотношения:
 
<math>a_n=a_{n-1}+d</math>
 
<math>a_n=a_{n+1}-d</math>.
 
Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2</math>.
 
'''Достаточность''':
 
Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2</math>. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду <math>a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}</math>. Поскольку соотношения верны при всех <math>n \geqslant 2</math>, с помощью математической индукции покажем, что <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n</math>.
 
'''База''' индукции <math>(n=2)</math> :
 
<math>a_2-a_1=a_3-a_2</math> — утверждение истинно.
 
'''Переход''' индукции:
 
Пусть наше утверждение верно при <math>n=k</math>, то есть <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k</math>. Докажем истинность утверждения при <math>n=k+1</math>:
 
<math>a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}</math>
 
Но по предположению индукции следует, что <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k</math>. Получаем, что <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}</math>
 
Итак, утверждение верно и при <math>n=k+1</math>. Это значит, что <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2 \Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n</math>.
 
Обозначим эти разности через <math>d</math>. Итак, <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d</math>, а отсюда имеем <math>a_{n+1}=a_n+d</math> для <math>n \in \mathbb N</math>. Поскольку для членов последовательности <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> выполняется соотношение <math>a_{n+1}=a_n+d</math>, то это есть арифметическая прогрессия.
|}
 
=== Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии ===
Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> может быть найдена по формулам
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)</math> — где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_2</math> — второй член прогрессии <math>, a_n</math> — член с номером <math>n</math>.
: <math>S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — разность прогрессии, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! Доказательство
|-
| Запишем сумму двумя способами:
 
<math>S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n</math>
 
<math>S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1</math> — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.
 
Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:
 
<math>2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)</math>
 
Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде <math>a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n</math>. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:
 
<math>a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n</math>
 
Получили, что каждое слагаемое не зависит от <math>i</math> и равно <math>2a_1+(n-1)d</math>. В частности, <math>a_1+a_n=2a_1+(n-1)d</math>. Поскольку таких слагаемых <math>n</math>, то
 
<math>2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math>
 
Третья формула для суммы получается подстановкой <math>2a_1+(n-1)d</math> вместо <math>a_1+a_n</math>. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.
 
'''Замечание''':
 
Вместо <math>a_1+a_n</math> в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых <math>a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,\ldots,n</math>, так как они все равны между собой.
 
|}
 
=== Сходимость арифметической прогрессии ===
Арифметическая прогрессия <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> расходится при <math>d\ne 0</math> и [[Предел последовательности|сходится]] при <math>d=0</math>. Причём
 
: <math>\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{matrix} \right.</math>
 
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! Доказательство
|-
| Записав выражение для общего члена и исследуя предел <math>\lim_{n\rightarrow\infty} (a_1+(n-1)d)</math>, получаем искомый результат.
|}
 
=== Связь между арифметической и геометрической прогрессиями ===
 
Пусть <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> — арифметическая прогрессия с разностью <math>d</math> и число <math>a>0</math>. Тогда последовательность вида <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> есть [[геометрическая прогрессия]] со знаменателем <math>a^d</math>.
 
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! Доказательство
|-
| Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:
 
: <math>\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, n\geqslant 2</math>
 
Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:
 
: <math>\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}=\sqrt{a^{a_1+(n-2)d}\cdot a^{a_1+nd}}=\sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=\sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, n\geqslant 2</math>
 
Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения <math>q=\frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=\frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d</math>.
|}
 
== Арифметические прогрессии высших порядков ==
 
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов [[Натуральное число|натуральных чисел]]:
 
: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,
 
разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:
 
: 1, 3, 5, 7, 9, 11…
 
Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность ''n''-ных степеней образует арифметическую прогрессию ''n''-го порядка.
 
Если <math>\left [ a_{i} \right ]_{1}^{n}</math> — арифметическая прогрессия порядка <math>m</math>, то существует многочлен <math>P_{m}(i) = c_{m}i^{m}+...+c_{1}i+c_{0}</math>, такой, что для всех <math>i \in \left \{ 1, .... n \right \}</math> выполняется равенство <math>a_{i}=P_{m}(i)</math>{{sfn|Бронштейн|с=139|1986}}
 
== Примеры ==
* Натуральный ряд <math>1, 2, 3, 4, 5, \ldots</math> — это арифметическая прогрессия, в которой первый член <math>a_1=1</math>, а разность <math>d=1</math>.
* <math>1, -1, -3, -5, -7</math> — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой <math>a_1=1</math> и <math>d=-2</math>.
* Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу <math>a</math>, то это есть арифметическая прогрессия, в которой <math>a_1=a</math> и <math>d=0</math>. В частности, <math>\pi, \pi, \pi, \ldots</math> есть арифметическая прогрессия с разностью <math>d=0</math>.
* Сумма первых <math>n</math> натуральных чисел выражается формулой
 
: <math>\sum_{i=1}^n i=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2</math>
 
== Дополнительные формулы ==
 
=== Нахождение разности <math>\mathit{d}</math> арифметической прогрессии,если известны члены этой прогрессии отличающиеся на разность их номеров ===
Пусть нам будут известны значения двух членов из некой числовой последовательности,например:
 
<math>\mathit{a_n=\alpha}</math> и <math>\mathit{a_m=\beta}</math> , где <math>\mathit{n} </math> и <math>\mathit{m}</math> - номера членов некой числовой последовательности.
 
Так как члены последовательности не являются соседними,то найдем насколько член <math>\mathit{a_m}</math>опережает <math>\mathit{a_n}</math>на некое количество номеров ,то есть найдем разность этих номеров:
 
<math>\mathit{m-n=k}</math> ,где <math>\mathit{k}</math> - разность номеров двух членов
 
Теперь найдем разность самих членов последовательности:
 
<math>\mathit{a_m-a_n=\beta-\alpha=p}</math> ,где <math>\mathit{p}</math> - разность двух членов
 
Последний шаг - найти частное этих двух разностей,а именно:
 
<math>\mathit{d=\frac{k}{p}}</math> ,где <math>\mathit{d}</math> - разность арифметической прогрессии.
 
В конечном итоге мы получаем формулу:
 
<math>\mathit{d=\frac{a_m-a_n}{m-n}}</math>
 
== Занимательная история ==
Согласно легенде, школьный учитель математики юного [[Гаусс,_Карл_Фридрих|Гаусса]], чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050.
Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле
: <math>\frac{n(n+1)}2</math>
то есть к формуле суммы первых <math>n</math> чисел натурального ряда.
 
== См. также ==
* [[Геометрическая прогрессия]]
* [[Арифметико-геометрическая прогрессия]]
 
== Ссылки ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Арифметическая прогрессия|том=II|страницы=98}}
 
== Примечания ==
{{Примечания}}
 
== Литература ==
 
* {{книга
| автор = [[Бронштейн, Илья Николаевич|Бронштейн И. Н.]], [[Семендяев, Константин Адольфович|Семендяев К. А.]]
| заглавие = Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов
| место = М.
| издательство = Наука
| год = 1986
| страниц = 544
| isbn =
| ref = Бронштейн
}}
 
[[Категория:Арифметика]]

Навигация