Abc-гипотеза: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Строка 52: | Строка 52: | ||
}}</ref>. |
}}</ref>. |
||
Математик Алексей Савватеев в своей лекции "Жизнь после великой теоремы Ферма: АВС-гипотеза" 18.05.2017 в трех строчках показывает как из {{mvar|abc}}-гипотезы следует справедливость ВТФ для степеней не |
Математик Алексей Савватеев в своей видео-лекции "Жизнь после великой теоремы Ферма: АВС-гипотеза" 18.05.2017 в трех строчках показывает как из {{mvar|abc}}-гипотезы следует справедливость ВТФ для степеней не менее 6. |
||
{{Сокрытие |
{{Сокрытие |
Версия от 07:27, 17 декабря 2019
abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году[2].
Доказательство abc-гипотезы долгое время было одной из главных нерешённых проблем теории чисел; статус этой проблемы в настоящее время спорный.
Формулировка
Для любого существует постоянная , при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел , и , таких, что , выполняется неравенство
где — радикал целого числа.
Замечания
- Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа , и . Тогда неравенство сводится к следующему:
- Условие необходимо. Для любого существует тройка взаимно простых чисел таких, что . Например тройка вида , где .
Следствия
Гипотеза Била и Великая теорема Ферма
Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших , а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней[3].
Математик Алексей Савватеев в своей видео-лекции "Жизнь после великой теоремы Ферма: АВС-гипотеза" 18.05.2017 в трех строчках показывает как из abc-гипотезы следует справедливость ВТФ для степеней не менее 6.
Согласно гипотезе Била, если (, , , , , — натуральные и ), то , , имеют общий делитель.
Докажем гипотезу Била для достаточно больших от противного. Предположим, существует бесконечное количество , для которых гипотеза Била неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:
Учтём, что . Поэтому:
Поскольку из условий теоремы очевидно, что и , то . Тогда:
Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на , получим ограничение сверху на величину :
- , (*)
причём, отношение должно быть конечным, поскольку, по условию , , — натуральные (то есть )
Таким образом, можно найти некоторое конечное значение , для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь несправедлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Била для достаточно больших ошибочно. Для оставшегося конечного количества справедливость гипотезы Била можно доказать численно.
Гипотезы Пиллаи и Каталана
Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.
Доказательство Мотидзуки
В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу[4][5]. Предложенное им доказательство оказалось исключительно сложным даже с точки зрения математиков-специалистов[6].
Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы[7]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах[8]. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки[9].
Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств[9][10] (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).
В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с abc-гипотезой и работами Мотидзуки, — объявили, что в ключевом для доказательства abc-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется непоправимая ошибка[11][6]. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения[12].
На начало 2019 года доказательство Мотидзуки всё ещё пребывает в неопределённом статусе.
Несколько новых семинаров по IUTT[13] пройдут в 2020—2021 годах. Первый из них начнётся 18-22 мая 2020 года[14].
См. также
Примечания
- ↑ D. W. Masser. Open problems (англ.) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / W. W. L. Chen. — London: Imperial College, 1985. — Vol. 25.
- ↑ J. Oesterlé. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (фр.) // Séminaire N. Bourbaki. — 1988. — Vol. 694. — P. 165–186. — ISSN 0303-1179.
- ↑ R. Daniel Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS. — 1985. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436—1437.
- ↑ "Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы". Lenta.ru. 2012-09-11. Дата обращения: 11 сентября 2012.
- ↑ Mochizuki, Shinichi (August 2012). Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters, Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation, Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice., Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations, доступны на странице http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html
- ↑ 1 2 David Michael Roberts. A Crisis of Identification // Inference. — 2019. — Vol. 4, no. 3.
- ↑ IUTeich Verification Report 2013-12, IUTeich Verification Report 2014-12
- ↑ «Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики. // Lenta.ru, 2015-10-08
- ↑ 1 2 Timothy Revell. Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page ‘summary’ . New Scientist (7 сентября 2017). Дата обращения: 8 декабря 2017.
- ↑ Caroline Chen. The Paradox of the Proof (4 мая 2013). Дата обращения: 6 сентября 2016. Перевод: Даниил Басманов. Парадокс доказательства (17 июня 2013). Дата обращения: 6 сентября 2016.
- ↑ Klarreich, Erica (2018-09-20). "Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture". Quanta. Дата обращения: 21 сентября 2018. Перевод: Титаны от математики схлестнулись над эпичным доказательством abc-гипотезы
- ↑ Mochizuki, Shinichi Report on Discussions, Held during the Period March 15 – 20, 2018, Concerning Inter-Universal Teichmüller Theory . Дата обращения: 18 января 2019.
Mochizuki, Shinichi Comments on the manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory . Дата обращения: 18 января 2019.
Mochizuki, Shinichi Comments on the manuscript (2018-08 version) by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory . Дата обращения: 18 января 2019. - ↑ Синъити Мотидзуки называет свою теорию англ. Inter-universal Teichmuller Theory: дословно «Интеруниверсальная теория Тайхмюллера», также встречается «арифметическая теория пространств Тейхмюллера»
- ↑ Mochizuki, Shinichi New Workshops on IUTT . Дата обращения: 1 февраля 2019.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. abc Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Лекции про ABC-гипотезу: Лекция 1, Лекция 2, Лекция 3, Лекция 4 (by Keith Conrad).
Литература
- Иэн Стюарт. «Величайшие математические задачи». — М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.