Вавилонская математика: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Lanhiaze (обсуждение | вклад) м →Общие сведения: оформление |
LGB (обсуждение | вклад) оформление |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
:: ''Данная статья — часть обзора [[История математики]].'' |
:: ''Данная статья — часть обзора [[История математики]].'' |
||
[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|300px|<center>Вавилонская табличка (около 1800–1600 г. |
[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|300px|<center>Вавилонская табличка (около 1800–1600 г. {{донэ}}) с вычислением <math>\sqrt{2} \approx 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3</math><br /> = 1.41421296…</center>]] |
||
== Общие сведения == |
== Общие сведения == |
||
[[Вавилония|Вавилонское царство]] возникло в начале II тысячелетия |
[[Вавилония|Вавилонское царство]] возникло в начале II тысячелетия {{донэ}}. на территории современного [[Ирак]]а, придя на смену [[Шумер]]у и [[Аккад]]у и унаследовав их развитую культуру. Просуществовало до персидского завоевания в 539 году {{донэ}} |
||
Вавилоняне писали [[клинопись|клинописными]] значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных [[Вавилония|Вавилонского государства]]. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от [[шумер]]ов — [[Клинопись|клинописное письмо]], счётная методика {{nobr|и т. п.}}{{sfn |История математики|1970|с=35 }} |
Вавилоняне писали [[клинопись|клинописными]] значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных [[Вавилония|Вавилонского государства]]. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от [[шумер]]ов — [[Клинопись|клинописное письмо]], счётная методика {{nobr|и т. п.}}{{sfn |История математики|1970|с=35 }} |
||
Строка 34: | Строка 34: | ||
Основой вычислительной техники вавилонян был громоздкий комплект специальных арифметических таблиц. Он включал таблицы для умножения (отдельно для умножения на 1…20, 30…50), обратных величин, [[Квадрат (алгебра)|квадратов]], [[Куб (алгебра)|кубов]], [[Квадратный корень|квадратных]] и [[Кубический корень|кубических корней]] и многие другие. Одна из таблиц помогала находить показатель степени ''n'', если дано число вида <math>2^n</math> (эти двоичные [[логарифм]]ы использовались для подсчёта процентов по кредиту). Деление целых чисел m/n вавилоняне заменяли умножением m ×(1/n), а для нахождения 1/n использовалась упомянутая выше таблица{{sfn |История математики|1970|с=37—39 }}{{sfn |Матвиевская Г. П.|1967|с=6—7}}. |
Основой вычислительной техники вавилонян был громоздкий комплект специальных арифметических таблиц. Он включал таблицы для умножения (отдельно для умножения на 1…20, 30…50), обратных величин, [[Квадрат (алгебра)|квадратов]], [[Куб (алгебра)|кубов]], [[Квадратный корень|квадратных]] и [[Кубический корень|кубических корней]] и многие другие. Одна из таблиц помогала находить показатель степени ''n'', если дано число вида <math>2^n</math> (эти двоичные [[логарифм]]ы использовались для подсчёта процентов по кредиту). Деление целых чисел m/n вавилоняне заменяли умножением m ×(1/n), а для нахождения 1/n использовалась упомянутая выше таблица{{sfn |История математики|1970|с=37—39 }}{{sfn |Матвиевская Г. П.|1967|с=6—7}}. |
||
[[Линейное уравнение|Линейные]] и [[квадратные уравнения]] (см. [[Plimpton 322]]) решались ещё в эпоху [[Хаммурапи]] (он правил в 1793−1750 годах |
[[Линейное уравнение|Линейные]] и [[квадратные уравнения]] (см. [[Plimpton 322]]) решались ещё в эпоху [[Хаммурапи]] (он правил в 1793−1750 годах {{донэ}}); при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ''ab'' называлось площадью, ''abc'' — объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих [[алгоритм]]ов; эти значки употреблялись как буквенные обозначения для ''неизвестного'' (в терминах современной [[Алгебра|алгебры]]). Встречаются также [[Кубическое уравнение|кубические уравнения]] и [[Система линейных алгебраических уравнений|системы линейных уравнений]]. |
||
Для вычисления квадратных корней вавилоняне открыли быстро сходящийся [[Итерационная формула Герона|итерационный процесс]]. Начальное приближение для <math>\sqrt{a}</math> рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа <math>n</math>. Представив подкоренное выражение в виде: <math>a=n^2+r</math>, получаем: <math>x_0=n+\frac{r}{2n}</math>, затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий [[Метод Ньютона|методу Ньютона]]{{sfn |История математики|1970|с=47 }}: |
Для вычисления квадратных корней вавилоняне открыли быстро сходящийся [[Итерационная формула Герона|итерационный процесс]]. Начальное приближение для <math>\sqrt{a}</math> рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа <math>n</math>. Представив подкоренное выражение в виде: <math>a=n^2+r</math>, получаем: <math>x_0=n+\frac{r}{2n}</math>, затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий [[Метод Ньютона|методу Ньютона]]{{sfn |История математики|1970|с=47 }}: |
||
Строка 45: | Строка 45: | ||
В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в [[Математика в Древнем Египте|Египте]], плюс сегмент [[круг]]а и усечённый [[конус]]. В ранних документах полагают <math>\pi=3</math>; позже встречается приближение 25/8 = 3,125 (у египтян 256/81 ≈ 3,1605). Встречается также и необычное правило: [[площадь]] [[круг]]а есть 1/12 от квадрата длины окружности, то есть <math>\pi^2 R^2/3</math>. Впервые появляется (ещё при [[Хаммурапи]]) [[теорема Пифагора]], причём в общем виде; она снабжалась особыми таблицами и широко применялась при решении разных задач. Вавилоняне умели вычислять [[площадь|площади]] [[Правильный многоугольник|правильных многоугольников]]; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в [[Математика в Древнем Египте|Египте]]: <math>S=\frac{{a+c}}{2} \cdot \frac {b+d}{2}</math>. |
В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в [[Математика в Древнем Египте|Египте]], плюс сегмент [[круг]]а и усечённый [[конус]]. В ранних документах полагают <math>\pi=3</math>; позже встречается приближение 25/8 = 3,125 (у египтян 256/81 ≈ 3,1605). Встречается также и необычное правило: [[площадь]] [[круг]]а есть 1/12 от квадрата длины окружности, то есть <math>\pi^2 R^2/3</math>. Впервые появляется (ещё при [[Хаммурапи]]) [[теорема Пифагора]], причём в общем виде; она снабжалась особыми таблицами и широко применялась при решении разных задач. Вавилоняне умели вычислять [[площадь|площади]] [[Правильный многоугольник|правильных многоугольников]]; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в [[Математика в Древнем Египте|Египте]]: <math>S=\frac{{a+c}}{2} \cdot \frac {b+d}{2}</math>. |
||
От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов [[Градус (геометрия)|градусами, минутами и секундами]] (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают [[Гипсикл]]у, II век |
От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов [[Градус (геометрия)|градусами, минутами и секундами]] (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают [[Гипсикл]]у, II век {{донэ}}) |
||
Венцом [[планиметрия|планиметрии]] была [[теорема Пифагора]]; [[Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Варден]] считает, что вавилоняне открыли её между 2000 и 1786 годами |
Венцом [[планиметрия|планиметрии]] была [[теорема Пифагора]]; [[Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Варден]] считает, что вавилоняне открыли её между 2000 и 1786 годами {{донэ}}<ref>{{книга|автор=van der Waerden, Bartel Leendert.|заглавие=Geometry and Algebra in Ancient Civilizations |ссылка=https://books.google.com/?id=_vPuAAAAMAAJ&q=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&dq=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&cd=1 |издательство=Springer |год=1983 |isbn=3-540-12159-5}}</ref>. |
||
== Историческое влияние == |
== Историческое влияние == |
Версия от 10:42, 17 февраля 2020
- Данная статья — часть обзора История математики.
Общие сведения
Вавилонское царство возникло в начале II тысячелетия до н. э.. на территории современного Ирака, придя на смену Шумеру и Аккаду и унаследовав их развитую культуру. Просуществовало до персидского завоевания в 539 году до н. э.
Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п.[1]
Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение квадратных уравнений, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян.
В вавилонских текстах, как и в египетских, излагается только алгоритм решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что развитая общая математическая теория у вавилонян несомненно была[2].
Нумерация
Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления, увековеченную в нашем делении круга на 360°. Писали они, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки.
Греческие и средневековые европейские математики (в том числе и Коперник), для обозначения дробных частей пользовались вавилонской 60-ричной системой. Благодаря этому, мы делим час на 60 минут и минуты на 60 секунд. При этом надо отметить, что вопреки распространённому мнению, часы, минуты и секунды не использовались в Древнем Вавилоне. Вместо этого использовался «двойной час» длительностью 120 современных минут, а также «время-градус» длительностью 1⁄360 дня (т.е. четыре минуты) и «третья часть» длительностью 31⁄3 современных секунды (как хелек в современной еврейском календаре)[3].
В современной научной литературе для удобства используется компактная запись вавилонского числа, например:
- 4,2,10; 46,52
Расшифровывается эта запись следующим образом: 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600
Арифметика и алгебра
Основой вычислительной техники вавилонян был громоздкий комплект специальных арифметических таблиц. Он включал таблицы для умножения (отдельно для умножения на 1…20, 30…50), обратных величин, квадратов, кубов, квадратных и кубических корней и многие другие. Одна из таблиц помогала находить показатель степени n, если дано число вида (эти двоичные логарифмы использовались для подсчёта процентов по кредиту). Деление целых чисел m/n вавилоняне заменяли умножением m ×(1/n), а для нахождения 1/n использовалась упомянутая выше таблица[4][5].
Линейные и квадратные уравнения (см. Plimpton 322) решались ещё в эпоху Хаммурапи (он правил в 1793−1750 годах до н. э.); при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись как буквенные обозначения для неизвестного (в терминах современной алгебры). Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений.
Для вычисления квадратных корней вавилоняне открыли быстро сходящийся итерационный процесс. Начальное приближение для рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа . Представив подкоренное выражение в виде: , получаем: , затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий методу Ньютона[6]:
Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для , например, и мы получаем последовательность приближений:
В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.
Геометрия
В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в Египте, плюс сегмент круга и усечённый конус. В ранних документах полагают ; позже встречается приближение 25/8 = 3,125 (у египтян 256/81 ≈ 3,1605). Встречается также и необычное правило: площадь круга есть 1/12 от квадрата длины окружности, то есть . Впервые появляется (ещё при Хаммурапи) теорема Пифагора, причём в общем виде; она снабжалась особыми таблицами и широко применялась при решении разных задач. Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в Египте: .
От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. э.)
Венцом планиметрии была теорема Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли её между 2000 и 1786 годами до н. э.[7].
Историческое влияние
Значительные достижения вавилонских математиков и астрономов стали фундаментом для науки последующих цивилизаций, и прежде всего — науки древней Греции. Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых общей системы и доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.
Примечания
- ↑ История математики, 1970, с. 35.
- ↑ Матвиевская Г. П., 1967, с. 7—8.
- ↑ Стр. 325 в O Neugebauer. The astronomy of Maimonides and its sources (англ.) // Hebrew Union College Annual : journal. — 1949. — Vol. 22. — P. 321—360.
- ↑ История математики, 1970, с. 37—39.
- ↑ Матвиевская Г. П., 1967, с. 6—7.
- ↑ История математики, 1970, с. 47.
- ↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5.
Литература
- Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — 456 с.
- Веселовский И. Н. Вавилонская математика // Труды Института истории естествознания и техники. — М.: Академия наук СССР, 1955. — Вып. 5. — С. 241—304..
- Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967.
- Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
- Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с.
- История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
- Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. — Ташкент: ФАН, 1967. — 344 с. Вопреки названию, книга прослеживает историю понятия числа с самых древних времён.
- Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.
- Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 271—320.
- Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ.
- Том I. (1960). Том II. (1963)
- Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1976. — 318 с.
- Friberg J. Unexpected links between Egyptian and Babylonian mathematics. World Scientific, 2005.
- Friberg J. Amazing traces of a Babylonian origin in Greek mathematics. World Scientific, 2007.
Ссылки
- Mesopotamian Mathematics (англ.)
- O’Connor, J. J. and Robertson, E. F., An overview of Babylonian mathematics, MacTutor History of Mathematics, (December 2000).