Рациональная функция: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Объединено |
лучше определение оставить как было, а про рациональные выражения написать отдельно |
||
Строка 2: | Строка 2: | ||
[[Файл:RationalDegree2byXedi.svg|thumb|right|300px|Пример рациональной функции от одной переменной: <math>f(x) = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}</math>]] |
[[Файл:RationalDegree2byXedi.svg|thumb|right|300px|Пример рациональной функции от одной переменной: <math>f(x) = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}</math>]] |
||
[[Файл:Rational function of two variables.png|thumb|right|300px|Пример рациональной функции от двух переменных]] |
[[Файл:Rational function of two variables.png|thumb|right|300px|Пример рациональной функции от двух переменных]] |
||
'''Рациональная [[Функция (математика)|функция]]''' — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, [[числитель|числителем]] и [[дробь (математика)|знаменателем]] которой являются [[многочлен]]ы. |
'''Рациональная [[Функция (математика)|функция]]''' — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, [[числитель|числителем]] и [[дробь (математика)|знаменателем]] которой являются [[многочлен]]ы. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение{{переход|Рациональное выражение}}, то есть [[алгебраическое выражение]], без [[Арифметический корень|радикалов]]. |
||
== |
== Определения == |
||
Рациональной функцией называется функция вида |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
:<math>\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}</math> |
:<math>\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}</math> |
||
Строка 22: | Строка 17: | ||
Другим частным случаем является отношение двух [[Линейная функция|линейных функций]] — [[дробно-линейная функция]]. |
Другим частным случаем является отношение двух [[Линейная функция|линейных функций]] — [[дробно-линейная функция]]. |
||
=== Рациональное выражение === |
|||
⚫ | '''Рациональное выражение''' — [[алгебраическое выражение]], не содержащее [[Арифметический корень|радикалов]]. Другими словами, это одна или несколько алгебраических величин ([[число|чисел]] и [[переменная величина|переменных]]), соединённых между собой знаками [[Арифметика|арифметических действий]]: [[Сложение|сложения]], [[Вычитание|вычитания]], [[Умножение|умножения]] и [[Деление (математика)|деления]], [[Возведение в степень|возведения в целую степень]] и знаками последовательности этих действий (обычно [[Скобки|скобками]] различного вида). |
||
Например: <br> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Свойства == |
== Свойства == |
Версия от 07:34, 15 марта 2020
Рациональная функция — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение , то есть алгебраическое выражение, без радикалов.
Определения
Рациональной функцией называется функция вида
где , — многочлены от любого числа переменных.
Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль.
Частным случаем являются рациональные функции одной переменной:
- , где и — многочлены.
Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.
Рациональное выражение
Рациональное выражение — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов. Другими словами, это одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), соединённых между собой знаками арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, возведения в целую степень и знаками последовательности этих действий (обычно скобками различного вида).
Например:
Любое рациональное выражение может быть приведено к виду рациональной функции.
Свойства
- Любое выражение, которое можно получить из переменных с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
- Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции.
- Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей (см. Метод неопределённых коэффициентов), это применяется при аналитическом интегрировании.
Правильные дроби
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если это не так.
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения ( — вещественный корень ) либо (где не имеет действительных корней), причём степени не больше кратности соответствующих корней в многочлене . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.
C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским[1].
См. также
- Целая рациональная функция
- Рациональное число
- Наипростейшая дробь
- Египетские дроби
- Список интегралов от рациональных функций
Примечания
- ↑ M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |