Рациональная функция: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Объединено
лучше определение оставить как было, а про рациональные выражения написать отдельно
Строка 2: Строка 2:
[[Файл:RationalDegree2byXedi.svg|thumb|right|300px|Пример рациональной функции от одной переменной: <math>f(x) = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}</math>]]
[[Файл:RationalDegree2byXedi.svg|thumb|right|300px|Пример рациональной функции от одной переменной: <math>f(x) = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}</math>]]
[[Файл:Rational function of two variables.png|thumb|right|300px|Пример рациональной функции от двух переменных]]
[[Файл:Rational function of two variables.png|thumb|right|300px|Пример рациональной функции от двух переменных]]
'''Рациональная [[Функция (математика)|функция]]''' — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, [[числитель|числителем]] и [[дробь (математика)|знаменателем]] которой являются [[многочлен]]ы.
'''Рациональная [[Функция (математика)|функция]]''' — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, [[числитель|числителем]] и [[дробь (математика)|знаменателем]] которой являются [[многочлен]]ы. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение{{переход|Рациональное выражение}}, то есть [[алгебраическое выражение]], без [[Арифметический корень|радикалов]].


== Определение ==
== Определения ==
Рациональной функцией называется функция вида
Любая рациональная функция может быть представлена ''рациональным выражением'' — [[Алгебраическое выражение|алгебраическим выражением]], не содержащим [[Арифметический корень|радикалов]]. Другими словами, это одна или несколько алгебраических величин ([[Число|чисел]] и [[Переменная величина|переменных]]), соединённых между собой знаками [[Арифметика|арифметических действий]]: [[Сложение|сложения]], [[Вычитание|вычитания]], [[Умножение|умножения]] и [[Деление (математика)|деления]], [[Возведение в степень|возведения в целую степень]] и знаками последовательности этих действий (обычно [[Скобки|скобками]] различного вида). Например:

* <math>a^3 + b^2 + c</math>
* <math>1+\frac{x}{1+\frac{y}{1+z}}</math>

Любое рациональное выражение может быть приведено к виду


:<math>\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}</math>
:<math>\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}</math>
Строка 22: Строка 17:


Другим частным случаем является отношение двух [[Линейная функция|линейных функций]] — [[дробно-линейная функция]].
Другим частным случаем является отношение двух [[Линейная функция|линейных функций]] — [[дробно-линейная функция]].

=== Рациональное выражение ===
'''Рациональное выражение''— [[алгебраическое выражение]], не содержащее [[Арифметический корень|радикалов]]. Другими словами, это одна или несколько алгебраических величин ([[число|чисел]] и [[переменная величина|переменных]]), соединённых между собой знаками [[Арифметика|арифметических действий]]: [[Сложение|сложения]], [[Вычитание|вычитания]], [[Умножение|умножения]] и [[Деление (математика)|деления]], [[Возведение в степень|возведения в целую степень]] и знаками последовательности этих действий (обычно [[Скобки|скобками]] различного вида).
Например: <br>
* <math>x + x^{-1}</math>
* <math>\frac{x}{y - z^{-3}}</math>

Любое рациональное выражение может быть приведено к виду рациональной функции.


== Свойства ==
== Свойства ==

Версия от 07:34, 15 марта 2020

Пример рациональной функции от одной переменной:
Пример рациональной функции от двух переменных

Рациональная функция — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение[⇨], то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Определения

Рациональной функцией называется функция вида

где  ,   — многочлены от любого числа переменных.

Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль.

Частным случаем являются рациональные функции одной переменной:

, где и  — многочлены.

Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Рациональное выражение

Рациональное выражение — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов. Другими словами, это одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), соединённых между собой знаками арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, возведения в целую степень и знаками последовательности этих действий (обычно скобками различного вида). Например:

Любое рациональное выражение может быть приведено к виду рациональной функции.

Свойства

Правильные дроби

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если это не так.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения ( — вещественный корень ) либо (где не имеет действительных корней), причём степени не больше кратности соответствующих корней в многочлене . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским[1].

См. также

Примечания

  1. M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.