Устойчивость (динамические системы)

В математике решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория в фазовом пространстве точки состояния динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений, с условиями, близкими к начальным, «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной, путём замены неизвестной функции.

Файл:4979e03f8a70f821bf51b7ef08bdc437-1000.jpg

Ляпунов, Александр Михайлович - создатель теории устойчивости

Постановка задачи устойчивости динамических систем

Пусть $\Omega$ — область пространства $\mathbb {R} ^{n}$, содержащая начало координат, $I=[\tau ;\infty )$, где $\tau \in \mathbb {R} ^{1}$. Рассмотрим систему (1) вида:

$\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(t,x),x\in \mathbb {R} ^{n},f:I\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}\\f(t,0)=0.\end{matrix}}\right.$

((1))

При любых $(t_{0},x_{0})\in I\times \Omega$ существует единственное решение x(t, t₀, x₀) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям x(t₀, t₀, x₀) = x₀. Будем предполагать, что решение x(t, t₀, x₀) определено на интервале $J^{+}=[t_{0};\infty )$, причём $J^{+}\subset I$.

Файл:Bellman-richard-545.jpg

Беллман, Ричард - разработчик численных методов теории устойчивости

Устойчивость по Ляпунову

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых $t_{0}\in I$ и $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$, зависящее только от ε и t₀ и не зависящее от t, такое, что для всякого x₀, для которого $\|x_{0}\|<\delta$, решение x системы с начальными условиями x(t₀) = x₀ продолжается на всю полуось t > t₀ и удовлетворяет неравенству $\|x(t)\|<\varepsilon$.

Символически это записывается так:

$(\forall \varepsilon >0)(\forall t_{0}\in I)(\exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0)(\forall x_{0}\in B_{\delta (t_{0},\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )$

Файл:111listen.nyq.jpg

Найквист, Гарри - разработчик критерия найквиста

Равномерная устойчивость по Ляпунову

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε:

$(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta (\varepsilon )>0)(\forall t_{0}\in I)(\forall x_{0}\in B_{\delta (\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )$

Файл:VI Arnold-02.jpg

Арнольд, Владимир Игоревич - разработчик теории устойчивости и бифуркаций

Неустойчивость по Ляпунову

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если:

$(\exists \varepsilon >0)(\exists t_{0}\in I)(\forall \delta >0)(\exists x_{0}\in B_{\delta })(\exists t_{*}\geq t_{0},t_{*}\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t_{*},t_{0},x_{0})\|\geq \varepsilon )$

Асимптотическая устойчивость

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие $\lim _{t\to \infty }\|x(t,t_{0},x_{0})\|=0$ для всякого x с начальным условием x₀, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.

Эквиасимптотическая устойчивость

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.

Равномерная асимптотическая устойчивость

Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.

Асимптотическая устойчивость в целом

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.

В автоматике асимптотическая устойчивость характеризует состояние покоя. Таковым оно является, если каждая траектория, начинающаяся в некоторой области стремится к началу координат, когда время неограничено возрастает.

Равномерная асимптотическая устойчивость в целом

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.

См. также

• Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия

Литература

• Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — ИЛ, 1954.
• Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Гостехиздат, 1955.
• Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
• Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.
• Демидович Б. П. Глава II, §1, Основные понятия теории устойчивости // Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
• Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Глава I, Непрерывные и дискретные детерминированные системы // Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X..
• Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: РХД, 2000. — 176 с.