Треугольник Серпинского: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Swadim (обсуждение | вклад) Нет описания правки Метка: редактор вики-текста 2017 |
Swadim (обсуждение | вклад) Нет описания правки Метка: редактор вики-текста 2017 |
||
Строка 6: | Строка 6: | ||
=== Итеративный метод === |
=== Итеративный метод === |
||
[[Файл:Sierpinsky triangle (evolution).png|thumb|300 px|Построение треугольника Серпинского |
[[Файл:Sierpinsky triangle (evolution).png|thumb|300 px|Построение треугольника Серпинского]] |
||
Середины сторон [[Равносторонний треугольник|равностороннего треугольника]] <math>T_0</math> соединяются [[Отрезок|отрезками]]. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность [[срединный треугольник|срединного треугольника]]. Получается множество <math>T_1</math>, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество <math>T_2</math>, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность <math>T_0\supset T_1\supset\dots\supset T_n\supset\dots</math>, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского. |
Середины сторон [[Равносторонний треугольник|равностороннего треугольника]] <math>T_0</math> соединяются [[Отрезок|отрезками]]. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность [[срединный треугольник|срединного треугольника]]. Получается множество <math>T_1</math>, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество <math>T_2</math>, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность <math>T_0\supset T_1\supset\dots\supset T_n\supset\dots</math>, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского. |
||
Строка 35: | Строка 35: | ||
* Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений [[Нарбут, Георгий Иванович|Георгия Нарбута]], в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала "Мистецтво" (1919 - 1920 гг.). |
* Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений [[Нарбут, Георгий Иванович|Георгия Нарбута]], в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала "Мистецтво" (1919 - 1920 гг.). |
||
* Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в [[интерьер]]е [[синагога|синагоги]] Бен-Эзра, [[Каир]], [[Египет]] |
* Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в [[интерьер]]е [[синагога|синагоги]] Бен-Эзра, [[Каир]], [[Египет]] |
||
* На основе треугольника Серпинского могут быть изготовлены многодиапазонные фрактальные антенны.<ref name="slyusar" /><ref>Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569</ref> |
* На основе треугольника Серпинского могут быть изготовлены многодиапазонные фрактальные антенны.<ref name="slyusar">Слюсар В.И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. – 2002. - № 9. – С. 54 -56., Конструктор. – 2002. - № 8. – С. 6 - 8. [http://slyusar.kiev.ua/ra0209_SLYUSAR.pdf]</ref><ref>Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569</ref> |
||
<center><gallery caption="Треугольник Серпинского" widths="200px" heights="200px" perrow="3"> |
<center><gallery caption="Треугольник Серпинского" widths="200px" heights="200px" perrow="3"> |
Версия от 06:45, 20 апреля 2020
Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского.
Построение
Итеративный метод
Середины сторон равностороннего треугольника соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество , состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность , пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.
Метод хаоса
- 1. Задаются координаты аттракторов — вершин исходного треугольника .
- 2. Вероятностное пространство разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
- 3. Задаётся некоторая произвольная начальная точка .
- 4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.
- 1. Генерируется случайное число .
- 2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
- 3. Строится точка с новыми координатами: , где:
- — координаты предыдущей точки ; — координаты активной точки-аттрактора.
- 5. Возврат к началу цикла.
Свойства
- Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
- Треугольник Серпинского замкнут.
- Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
- Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
- Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность . В частности,
- треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.
Интересные факты
- Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
- Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии[1].
- Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений Георгия Нарбута, в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала "Мистецтво" (1919 - 1920 гг.).
- Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в интерьере синагоги Бен-Эзра, Каир, Египет
- На основе треугольника Серпинского могут быть изготовлены многодиапазонные фрактальные антенны.[2][3]
-
Построение итеративным методом
-
Построение методом хаоса
-
Иллюстрация свойства самоподобия (рекурсии)
Примечания
- ↑ What is the Game of Life?
- ↑ Слюсар В.И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. – 2002. - № 9. – С. 54 -56., Конструктор. – 2002. - № 8. – С. 6 - 8. [1]
- ↑ Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569
Ссылки
- Медиафайлы по теме Треугольник Серпинского на Викискладе
- Weisstein, Eric W. Sierpiński Sieve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.