Дифференциальная геометрия: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
отмена правки 104769965 участника Bogdanov-62 (обс.)
Метка: отмена
Строка 1: Строка 1:
{{комплексная наука}}
'''Дифференциа́льная геоме́трия''' и '''дифференциальная тополо́гия''' — два смежных раздела [[математика|математики]], которые изучают [[Гладкое многообразие|гладкие многообразия]], обычно с дополнительными структурами.
'''Дифференциа́льная геоме́трия''' и '''дифференциальная тополо́гия''' — два смежных раздела [[математика|математики]], которые изучают [[Гладкое многообразие|гладкие многообразия]], обычно с дополнительными структурами.
Они находят множество применений в [[физика|физике]], особенно в [[общая теория относительности|общей теории относительности]].
Они находят множество применений в [[физика|физике]], особенно в [[общая теория относительности|общей теории относительности]].

Версия от 20:58, 23 мая 2020

Дифференциа́льная геоме́трия и дифференциальная тополо́гия — два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия, обычно с дополнительными структурами. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.

Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела вместе называют дифференциальной геометрией. Различие между этими разделами состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти одинаковые окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как кривизна), которые могут различаться в точках.

История

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема — понятию интеграла.

Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.

Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.

Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики, он начинает развиваться только в начале XX века.

Основные подразделы дифференциальной геометрии и топологии

Литература

  • Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
  • Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: МГУ, 1980. — 439 с.
  • Дж. Шварц. Дифференциальная геометрия и топология. — М.: Мир, 1970. — 223 с.

Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений»:

Другие работы: