Силлогистика: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
11 813 байт добавлено ,  10 месяцев назад
отмена: нормальный текст, не надо сносить всё подряд без АИ
м (Stjn переименовал страницу Силлогистические теории в Силлогистика: по запросу Ailbeve, возражения к нему)
(отмена: нормальный текст, не надо сносить всё подряд без АИ)
Метка: отмена
'''Силлогистика''' ({{lang-grc|συλλογιστικός}} ''умозаключающий'') — [[теория]] [[Логический вывод|логического вывода]], исследующая умозаключения, состоящие из т. н. категорических высказываний (суждений).
 
В силлогистике рассматриваются, например, выводы заключения из одной посылки (т. н. непосредственные умозаключения), «сложные силлогизмы», или [[Сорит|полисиллогизмы]], имеющие не менее трёх посылок. Однако основное внимание силлогистика уделяет теории категорического силлогизма, имеющего ровно две посылки и одно заключение указанного вида. Классификацию различных форм (модусов) силлогизмов и их обоснование дал основатель логики как науки [[Аристотель]]. В дальнейшем силлогистика усовершенствовалась различными школами античных (перипатетики, стоики) и средневековых логиков. Несмотря на ограниченный характер применения, отмечавшийся ещё [[Бэкон, Фрэнсис|Ф. Бэконом]], [[Декарт, Рене|Р. Декартом]], [[Милль, Джон Стюарт|Дж. С. Миллем]] и другими учёными, силлогистика долгое время являлась неотъемлемым традиционным элементом «классического» гуманитарного образования, из-за чего её часто называют традиционной [[Логика|логикой]]. С созданием исчислений [[Математическая логика|математической логики]] роль силлогистики стала весьма скромной. Оказалось, в частности, что почти всё её содержание (а именно все выводы, не зависящие от характерного для силлогистики предположения о непустоте предметной области) может быть получено средствами фрагмента исчисления предикатов — т. н. одноместного исчисления предикатов. Получен также (начиная с [[Лукасевич, Ян|Я. Лукасевича]], [[1939]]) ряд аксиоматических изложений силлогистики в терминах современной [[Математическая логика|математической логики]].
 
== Типы суждений ==
Классификацию различных форм (модусов) силлогизмов и их обоснование дал основатель логики как науки [[Аристотель]]. В дальнейшем силлогистика усовершенствовалась различными школами античных (перипатетики, стоики) и средневековых логиков. Несмотря на ограниченный характер применения, отмечавшийся ещё [[Бэкон, Фрэнсис|Ф. Бэконом]], [[Декарт, Рене|Р. Декартом]], [[Милль, Джон Стюарт|Дж. С. Миллем]] и другими учёными, силлогистика долгое время являлась неотъемлемым традиционным элементом «классического» гуманитарного образования, из-за чего её часто называют традиционной [[Логика|логикой]].
 
Высказывание, в котором утверждается, что все предметы класса обладают или не обладают определенным свойством, называется общим (соответственно общеутвердительным или общеотрицательным). Высказывание, в котором утверждается, что некоторые предметы класса обладают или не обладают определенным свойством, называется частным (соответственно частноутвердительным или частноотрицательным). По Аристотелю, все простые высказывания делятся на следующие шесть типов: единичноутвердительные, единичноотрицательные, общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные, частноотрицательные.{{Нет АИ|26|05|2020}}
С созданием исчислений [[Математическая логика|математической логики]] роль силлогистики стала весьма скромной. Оказалось, в частности, что почти всё её содержание (а именно все выводы, не зависящие от характерного для силлогистики предположения о непустоте предметной области) может быть получено средствами фрагмента исчисления предикатов — т. н. одноместного исчисления предикатов. Получен также (начиная с [[Лукасевич, Ян|Я. Лукасевича]], [[1939]]) ряд аксиоматических изложений силлогистики в терминах современной [[Математическая логика|математической логики]].
 
Типы простых высказываний, относящихся к классам предметов, обозначаются гласными буквами латинского алфавита: '''A''' — общеутвердительные, '''E''' — общеотрицательные, '''I''' — частноутвердительные, '''O''' — частноотрицательные. Далее класс предметов обозначается буквой '''S''', свойство — буквой '''P'''. При этом '''S''' называется субъектом, а '''P''' — предикатом. Эти четыре типа простых высказываний, имеют следующую общелогическую форму:
 
'''A''' (общеутвердительное суждение): "Все предметы класса '''S''' обладают свойством '''P'''". ("Все '''S''' суть '''P'''".) Символически: '''SaP''';
 
'''E''' (общеотрицательное суждение): "Ни один предмет класса '''S''' не обладает свойством '''P'''". ("Ни один '''S''' не есть '''P'''".) Символически: '''SeP''';
 
'''I''' (частноутвердительное суждение): "Некоторые предметы класса '''S''' обладают свойством '''P'''". ("Некоторые '''S''' суть '''P'''".) Символически: '''SiP''';
 
'''O''' (частноотрицательное суждение): "Некоторые предметы класса '''S''' не обладают свойством '''P'''". ("Некоторые '''S''' не суть '''P'''".) Символически: '''SoP'''.
 
Все эти суждения на языке логики предикатов имеют вид:
 
<math>A\colon (\forall x)\bigl(S(x)\to P(x)\bigr).</math>
 
<math>E\colon (\forall x)\bigl(S(x)\to\lnot P(x)\bigr).</math>
 
<math>I\colon (\exists x)\bigl(S(x)\land P(x)\bigr).</math>
 
<math>O\colon (\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr).</math>
 
Эти же формулы можно равносильно преобразовать следующим образом:
 
<math>A\colon \lnot (\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr). </math>
 
<math>E\colon \lnot (\exists x)\bigl(S(x)\land P(x)\bigr).</math>
 
<math>I\colon \lnot (\forall x)\bigl(S(x)\to\lnot P(x)\bigr). </math>
 
<math>O\colon \lnot(\forall x)\bigl(S(x)\to P(x)\bigr).</math>{{Нет АИ|26|05|2020}}
 
== Силлогистические умозаключения ==
 
Аристотель выделяет важнейший вид дедуктивных умозаключений — так называемые силлогистические умозаключения, или силлогизмы. Аристотелев силлогизм представляет собой схему логического вывода (умозаключения), состоящую из трех простых высказываний '''S,M,P''' одного из четырех указанных видов '''A,E,I,O''': два первых высказывания '''S,M''' — посылки, третье '''P''' — заключение. В результате, возможно всего 4 типа силлогизмов:{{Нет АИ|26|05|2020}}
 
<math>
\begin{array}{cccc}\dfrac{\begin{matrix}\text{Figure I}\\[2pt] MxP\\ SyM\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure II}\\[2pt] PxM\\ SyM\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure III}\\[2pt] MxP\\ MyS\end{matrix}}{SzP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{Figure IV}\\[2pt] PxM\\ MyS\end{matrix}}{SzP} \end{array}
</math>
 
Здесь <math>x,y,z\in\{a,e,i,o\}</math> и запись '''SzP''' (как и '''MxP''' и '''SyM''' и т. п.) обозначает в зависимости от значения '''z''' одно из четырех суждений видов '''A,E,I,O'''. Каждая фигура доставляет следующее количество силлогизмов (схем): <math>4\cdot4\cdot4=64</math>. Поскольку фигур 4, то получаем <math>4\cdot64=256</math> силлогизмов.
 
Задача аристотелевой силлогистики, блестяще решенная самим Аристотелем, состоит в том, чтобы обнаружить все те силлогизмы (схемы умозаключений), которые справедливы, т.е. представляют собой логические следования. Таких силлогизмов, как установил Аристотель, имеется ровно 19, остальные — неверны. При этом 4 из 19 правильных силлогизмов оказываются условно правильными.
 
Для запоминания правильных силлогизмов средневековыми схоластами было придумано следующее [[мнемоника|мнемотехническое]] латинское стихотворение:
 
BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO que prioris;
 
CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO sedundae;
 
Tertia DARAPTI*, DISAMIS, DATISI, FELAPTON*, BOCARDO, FERISON habet; quarta insuper addit
 
BAMALIP*, CAMENES, DIMATIS, FESAPO*, FRESISON.
 
Здесь слова, выделенные большими буквами, а точнее, гласные в этих словах, означают суждения A,E,I,O, подставляемые на место x,y,z в каждой фигуре силлогизма (слова в первой строке стиха соответствуют первой фигуре, второй строке -второй и т.д.) То есть для первой фигуры будут верны варианты силлогизмов (т.н.модусы) первой строки BARBARA (AAA), CELARENT (EAE), DARII (AII), FERIO (EIO):
 
<math>
\begin{array}{cccc}\dfrac{\begin{matrix}\text{BARBARA}\\[2pt] MAP\\ SAM\end{matrix}}{SAP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{CELARENT}\\[2pt] MEP\\ SAM\end{matrix}}{SEP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{DARII}\\[2pt] MAP\\ SIM\end{matrix}}{SIP} &\quad \dfrac{\begin{matrix}\text{FERIO}\\[2pt] MEP\\ SIM\end{matrix}}{SOP} \end{array}
</math>
 
аналогично для других фигур силлогизма применяются модусы из строки стиха, соответствующей номеру фигуры.
 
При этом необходимо отметить, что в аристотелевской логике все классы M, P, S считаются непустыми, то есть имеющие хотя бы один элемент. Если это не учитывать, то получаются очевидные ошибки. Пример [[Рассел, Бертран|Рассела]]: Пусть M означает класс (пустой) "золотые горы", P - класс "золотые объекты", а S - класс "горы"
Тогда имеем по модусу DARAPTI третьей фигуры:
 
Все золотые горы - золотые.
 
Все золотые горы - горы.
-
 
Следовательно некоторые горы золотые.
 
Таким образом из двух верных (тавтологичных) утверждений мы получим отнюдь не тавтологичное, но заведомо неверное утверждение.
 
Так как в современной математике, физике и даже структурной лингвистике часто работают с пустыми множествами, то в этом случае нельзя применять модусы, выделенные у нас звездочками (DARAPTI, FELAPTON, BAMALIP, FESAPO){{Нет АИ|26|05|2020}}
 
== Формализация теории аристотелевых силлогизмов ==
 
Описанная формализация придумана в 1950-х годах польским логиком Лукасевичем.{{Нет АИ|26|05|2020}}
 
Пусть строчные латинские буквы '''a,b,c,...''' обозначают переменные термины силлогистики, две прописные латинские буквы '''A''' и '''I''' — два силлогических бинарных отношения: '''Aab''': «Всякое '''a'''
есть '''b'''», '''Iab''': «Некоторое '''a''' есть '''b'''».
 
Понятие формулы дается посредством следующего индуктивного определения:
 
1) '''Aab''' и '''Iab''' — простые (или атомарные) формулы силлогистики;
 
2) если <math>F,G</math> — формулы силлогистики, то формулами силлогистики будут также <math>(F\wedge
G),(F\vee G),(F\to G),(\neg F)</math>;
 
3) никаких других формул, кроме получающихся по правилам пунктов 1 и 2, нет.
 
Формулировка аксиом. Во-первых, считаем, что имеется некоторое формализованное [[исчисление высказываний]], так что его аксиомы открывают список аксиом формальной силлогистики. В качестве специальных аксиом
принимаются такие силлогические предложения:
 
<math>(FS1)\colon Aaa;</math>
 
<math>(FS2)\colon Iaa;</math>
 
<math>(FS3)\colon (Abc\wedge Aab) \to Aac</math> (силлогизм Barbara);
 
<math>(FS4)\colon (Abc \wedge Iba) \to Iac</math> (силлогизм Datisi).
 
С помощью следующих определений введем еще два силлогических бинарных отношения '''E''' и '''O''': '''Eab'' означает <math>\neg Iab</math>, '''Oab''' означает <math>\neg Aab</math>.
 
В качестве правил вывода в системе формализованной силлогистики '''FS''' принимаются два правила подстановки и правило заключения [[modus ponens]]:{{Нет АИ|26|05|2020}}
 
== См. также ==
== Литература ==
;Энциклопедии
* {{БРЭ|статья=СиллогистикаСиллогизм|id=3661958|автор=В. И. Маркин|ref=БРЭ}}
* {{ВТ-ЭСБЕ|Силлогизм|[[Радлов, Эрнест Леопольдович|Радлов Э. Л.]]|ref=ЭСБЕ}}
* {{БСЭ3|статья=Силлогизм|автор=|ref=БСЭ}}

Навигация