Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
м
мНет описания правки
Метка: редактор вики-текста 2017
Метка: редактор вики-текста 2017
'''Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера''' — [[гипотеза (математика)|математическая гипотеза]] относительно свойств [[Эллиптическая кривая|эллиптических кривых]], одна из [[Задачи тысячелетия|задач тысячелетия]] (за её решение [[Математический институт Клэя|институтом Клэя]] предложен приз в [[Доллар США|$]]1 млн.)
 
В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах{{sfn|Стюарт|2015|с=360}}, [[Бёрч, Брайан Джон|Брайан Бёрч]] и [[Свиннертон-Дайер, Питер|Питер Свиннертон-Дайер]] в начале 1960-х годов предположили, что ранг <math>r</math> эллиптической кривой <math>E</math> над [[Алгебраическое числовое поле|полем]] <math>K</math> равен порядку нуля [[Дзета-функция Хассе — Вейля|дзета-функции Хассе — Вейля]] <math>L(E,s)</math> в точке <math>s=1</math>. Более детально, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел <math>B_E=\lim\limits_{s \to 1} \frac{L(E,s)}{(s-1)^r}</math>, где значение <math>B_E</math> зависит от тонких арифметических инвариантов кривых. Из численных экспериментов {{harvtxt|BirchБёрч|SwinnertonСвиннертон-DyerДайер|1965}} предположили, что ''N<sub>p</sub>'' - число целых точек на кривой ''E'' с рангом ''r'' по модулю ''p'' - удовлетворяет арифметическому закону:
 
:<math>\prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r \mbox{ as } x \rightarrow \infty </math>

Навигация