Полуцелое число

Полуцелое число — число из ряда

$\dots ,-1{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1{\tfrac {1}{2}},2{\tfrac {1}{2}},\dots$

То есть число вида $n+1/2$, где $n$ — целое, или вида ${\frac {k}{2}}$, где $k$ — целое. Иначе говоря, это рациональное число с дробной частью $1/2$. При этом чётность полуцелого числа та же, что и у $k$.

Множество полуцелых чисел обычно обозначается $\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}$, здесь $\mathbb {Z}$ обозначает кольцо целых чисел.

Полуцелые числа применяются в квантовой физике (в частности, значения спина фермионов — полуцелые числа).

Свойства

• Среднее арифметическое двух целых чисел разной чётности всегда является полуцелым числом, а двух чисел одинаковой чётности — целым.
• Объединение множеств целых и полуцелых чисел образует аддитивную группу ${\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z}$, эта группа не является кольцом (так как произведение двух полуцелых в общем случае не даёт целое или полуцелое число).
• Полуцелые являются подклассом двоично-рациональных чисел, то есть рациональных чисел, представимых в виде частного произвольного целого и двойки в целой степени.
• Гамма-функция целого и полуцелого аргумента может быть выражена через элементарные функции, для других классов чисел подобных представлений пока не найдено.

Литература

• Malcolm Sabin. Analysis and Design of Univariate Subdivision Schemes // Geometry and Computing. — Springer, 2010. — Т. 6. — ISBN 9783642136481.