Теорема Штейнера — Лемуса: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Исправлена не совсем точная ссылка на трёхтомник Понарина (в первых двух томах было указано, что это двухтомник, но в 2009 году вышел третий том). |
|||
| Строка 10: | Строка 10: | ||
== История доказательства == |
== История доказательства == |
||
Доказательство было дано в работах немецких геометров [[Штейнер, Якоб|Якоба Штейнера]] и [[Лемус, |
Доказательство было дано в работах немецких геометров [[Штейнер, Якоб|Якоба Штейнера]] и [[Лемус, Даниэль|Даниэля Лемуса]]. |
||
В 1963 году журнал [[American Mathematical Monthly]] объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. |
В 1963 году журнал [[American Mathematical Monthly]] объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. |
||
Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные ранее неизвестные. |
Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные и ранее неизвестные. |
||
Одно из лучших<ref>{{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}</ref>, по мнению редакции, использует [[метод от противного]] и окружность, проходящую через 4 точки как дополнительное построение. |
Одно из лучших<ref>{{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}</ref>, по мнению редакции, использует [[метод от противного]] и окружность, проходящую через 4 точки как дополнительное построение. |
||
Версия от 12:28, 19 октября 2021
Теорема Штейнера — Лемуса — теорема геометрии треугольника. Известна как пример с виду простого утверждения, который не имеет простого классического доказательства, хотя есть несложное аналитическое доказательство.
Формулировка
Если в треугольнике равны 2 биссектрисы, то этот треугольник является равнобедренным.
История доказательства
Доказательство было дано в работах немецких геометров Якоба Штейнера и Даниэля Лемуса.
В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные и ранее неизвестные. Одно из лучших[1], по мнению редакции, использует метод от противного и окружность, проходящую через 4 точки как дополнительное построение.
В советской литературе распространено доказательство, основанное на следующем признаке равенства треугольников: если угол, биссектриса этого угла и сторона, противолежащая этому углу, одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Аналитическое доказательство следует из формулы на длину биссектрисы
Вариации и обобщения
- Аналогичная теорема для биссектрис внешних углов (отрезков биссектрис внешних углов, проведенных до продолжения сторон) неверна. Один из контрпримеров — треугольник Боттема* — с углами 12°, 132° и 36°. В нём отрезки биссектрис, внешних к первым двум углам, проведённых до пересечения с продолжениями сторон, равны стороне, соединяющей их вершины.
Литература
- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 335-338. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
- Понарин Яков Петрович. Элементарная геометрия. В 2 [3] тт. Ред. Семёнов А.В. — М.: МЦНМО, 2004 (том 1), 2006 (том 2), 2009 (том 3). — 312+256+192 стр. — ISBN 978-5-94057-397-5, 978-5-94057-170-0 (все тома), 978-5-94057-171-9 (том 1), 978-5-94057-223-5 (том 2), 978-5-94057-400-2 (том 3). По данной теореме см. т. 1, стр. 31-32.
- Weisstein, Eric W. Steiner–Lehmus theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Несколько доказательств теоремы Штейнера — Лемуса (англ.)
Примечания
- ↑ Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).