Кратность критической точки: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
Впервые эта теорема была доказа [[Вейерштрасс|Вейерштрассом]] для [[Голоморфная функция|голоморфных функциий]] комплексных переменных<ref>''Weierstrass K.'' Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.</ref>
(теорема деления ''по Вейерштрассу''). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления ''по Мальгранжу'' или ''по Мазеру''.
 
Из теоремы деления вытекает следующее полезное следствие:
 
'''Следствие'''.
Если [[росток (математика)|росток]] гладкой функции <math>f(x,y_1, \ldots, y_n)</math> обращается в нуль на гиперплоскости <math>x=0</math>, то он представим в виде <math>f=x g(x,y_1, \ldots, y_n),</math> где <math>g</math> — гладкая функция.
 
'''Доказательство'''. Докажем утверждение для функции <math>f(x,y_1, \ldots, y_n),</math> удовлетворяющей условию (*) с некоторым конечным <math>\mu>0</math>. Добиться выполнения этого условия можно всегда, прибавив к функции <math>f</math> многочлен <math>c_{\mu}x^{\mu}+\cdots+c_1x</math>, что, очевидно, не меняет доказываемого утверждения. Тогда в окрестности точки <math>0</math> функция <math>f</math> представима в виде (**), где стоящее в скобках выражение тождественно обращается в нуль при <math>x=0</math>. Отсюда следует, что <math>a_{\mu}(y_1, \ldots, y_n) \equiv 0</math>. Вынося за скобки общий множитель <math>x</math>, получаем требуемое представление функции <math>f</math>.
 
== См. также ==

Навигация